[学习笔记] Pick定理

本文详细介绍了Pick定理的证明过程,该定理揭示了整点网格上多边形面积与其内部和边界上格点数之间的关系。通过两个关键引理的证明,展示了任意简单多边形满足Pick定理的数学逻辑。

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定义

  • 对于一个所有顶点均为整点的简单多边形,定义 SSS 为这个多边形的面积,iii 为严格在这个多边形内部的格点数,bbb 为在这个多边形边上的格点数,则三者满足关系式:S=i+b2−1S = i + \frac{b}{2} - 1S=i+2b1

证明

  • 以下提到的所有多边形均指所有顶点均为整点的简单多边形。
  • 首先考虑证明以下两条引理,则 Pick 定理显然成立:
  1. 若两个只有一条公共边的多边形满足 Pick 定理,则将两个多边形去掉公共边,合并成的一个多边形也满足 Pick 定理。
  2. 任意一个三角形都满足 Pick 定理。
  • 考虑 引理1 的证明:
  1. 设合并的两个多边形为 P,QP,QP,Q,它们的公共边上的格点数(不包括端点)为 ccc
    S=SP+SQ=iP+iQ+bP+bQ2−2=i−c+b+2c+22−2=i+b2−1 \begin{aligned}S &= S_P + S_Q \\&=i_P + i_Q + \frac{b_P + b_Q}{2} - 2\\&= i - c + \frac{b + 2c + 2}{2} - 2\\& =i + \frac{b}{2} - 1 \\\end{aligned} S=SP+SQ=iP+iQ+2bP+bQ2=ic+2b+2c+22=i+2b1
  • 引理1 得证。
  • 考虑 引理2 的证明:
  1. 已知面积为 1 的正方形满足 Pick 定理,由 引理1 得任意大小的矩形都满足 Pick 定理。
  2. 将一个矩形拆分为两个全等的直角三角形,证明任意一个直角三角形都满足 Pick 定理。
  3. 同样设两个直角三角形公共边上的格点数(不包括端点)为 ccc,原矩形为 RRR,拆分出的直角三角形为 TTT
    ST=SR2=iR2+bR4−12=2iT+c2+2bT−2c−24−12=iT+bT2−1 \begin{aligned} S_T &= \frac{S_R}{2} \\ &= \frac{i_R}{2} + \frac{b_R}{4} - \frac{1}{2} \\ &= \frac{2i_T + c}{2} + \frac{2b_T - 2c - 2}{4} - \frac{1}{2} \\ &= i_T + \frac{b_T}{2} - 1\\ \end{aligned} ST=2SR=2iR+4bR21=22iT+c+42bT2c221=iT+2bT1
  4. 那么任意一个三角形显然可以由一个矩形拆去不多于3个的直角三角形得到,由类似于证明 引理1 的方法我们也能得到:

有两个只有一条公共边的多边形,若将这两个多边形去掉公共边,合并成的一个多边形满足 Pick 定理,且这两个多边形中有一个满足 Pick 定理,则另一个多边形也满足 Pick 定理。

  • 引理2 得证。
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