矩母函数（Monment Generating Function）

最新推荐文章于 2026-01-06 18:54:20 发布

原创最新推荐文章于 2026-01-06 18:54:20 发布 · 589 阅读

8 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#概率论

概率论专栏收录该内容

3 篇文章

订阅专栏

本文介绍了矩母函数(MGF)，它是随机变量的期望值在指数函数下的表现形式。文章详细阐述了MGF的定义、性质，如线性性质、独立随机变量的MGF乘积关系以及连续和离散分布下的表达式。最后，还证明了独立随机变量的和的MGF与其分量的MGF的乘积相等。

矩母函数（Monment Generating Function）

$Definition(mgf):\\ (from~ Mathematical~Statistics)\\ for~a~r.v.~X,if~E(e^{tX})~exists~for~any~t{\in(-\epsilon,+\epsilon) }~for ~some ~\epsilon>0\\ then:\\ M_x(t)=E(e^{tX})\\ is~called~the~comment~generating~function~(mgf)~of~X$

Some properties of mgf:

$M_{a+bX}(t)=e^{at}M_x(bt),where~a~and~b~are~two~constants\\ M_{a+bX}(t)=E(e^{t(a+bX)})=\\ E(e^{at}e^{btX}) =e^{at}E(e^{tbX}) =e^{at}M_x(bt)\\ \\ E(X)\\ Discrete:E(x)= \sum^{+\infty}_{k=1}{x_k}{p_k} \\ Continuous:E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}{xf(x)dx}\\$
$if~X{\underline{\|}}Y,then:\\ M_{X+Y}(t)=M_{x}(t)M_y(t)\\ because~when~X{\underline{\|}}Y:\\ E(e^{XY})=E(e^Xe^Y)=E(e^X)E(e^Y)\\$
$m g f : O n l y cer t ain, b u t n o t n ecess a r i l y a ll e x i s t$
$M (0) = 1$
$M^k(0)=E(X^k)\\ M(t)=E(e^{tx})=\int{e^{tx}{f(x)}dx}\\ M'(t)=\int{e^{tx}xf(x)dx}\\ M'(0)=\int{xf(x)dx}=EX\\$
$if~X1...X_n~are~independent~random~variables\\ and~M_i(t)~are~their~mgf,and~assume~Y =\sum^{n}_{i=1}{x_i}\\ then:\\ the~mgf~of~Y~is\prod^{n}_{i=1}M_i(t)\\ \\ Prove:\\ M_Y(t)=E{(e^{tY})}=E(e^{t{(X_1+......X_n)}})=E(e^{tX_1}......e^{tX_n})\\ because~X1...X_n~are~independent~random~variables:\\ E(e^{tX_1}......e^{tX_n})=\prod^{n}_{i=1}M_i(t)\\$