51Nod 1201 - 整数划分（DP）

最新推荐文章于 2021-06-16 12:47:44 发布

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本文介绍了一种使用动态规划解决数字划分问题的方法，通过dp[i][j]表示数字i被划分为j个互不相同数字之和的方案数，递推公式为dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i-1][j-1]，并提供了一个C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【题目描述】
在这里插入图片描述

【思路】
$d p [i] [j] 表示数字 i 被划分成 j 个互不相同的数字之和的方案数，那么$ $d p [i] [j] = d p [i - j] [j] + d p [i - 1] [j - 1]$ $前一项表示数字i−j被划分成j个互不相同的数，然后每个数字+1就能得到数字i了，后一项表示数字i−j被划分成j−1个互不相同的数，然后每个数字+1后再加上一个数字1也能得到数字i，j个互不相同的数相加至少是j(j−1)/2，是j2的级别，所以j只需要枚举到n的数量级就可以了前一项表示数字i-j被划分成j个互不相同的数，然后每个数字+1就能得到数字i了，后一项表示数字i-j被划分成j-1个互不相同的数，然后每个数字+1后再加上一个数字1也能得到数字i，j个互不相同的数相加至少是j(j-1)/2，是j^2的级别，所以j只需要枚举到\sqrt{n}的数量级就可以了$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int mod=1e9+7;
const int maxn=50005;
const int maxm=505;

int n;
int dp[maxn][maxm];

int main(){
	scanf("%d",&n);
	dp[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		for(int j=1;j<maxm;++j){
			if(i>=j) dp[i][j]=((long long)dp[i-j][j]+dp[i-j][j-1])%mod;
		}
	}
	long long ans=0;
	for(int j=1;j<maxm;++j){
		ans=(ans+dp[n][j])%mod;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}