欧拉函数

欧拉函数

定义

欧拉函数是小于x的整数中与x互质的数的个数，一般用 $\phi (x)$ 表示。特殊的，$\phi (1)=1$

计算公式

设 $x$ 的所有素因子分别为 $p_1,p_2,...p_n$，则
$$\phi (x)=x\times \prod _1^n(1-\frac{1}{p_i})$$
用容斥原理证明即可

积性函数

欧拉函数是积性函数，当 $gcd(n,m)=1$ 时，$\phi (n\times m)=\phi (n)\times \phi (m)$

常用性质

• 对于素数 $p$ ，$\phi (p)=p-1，\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}$
• $n>2$ 时，$\phi (n)$ 是偶数，即当 $gcd(m,n)=1$ 时，有 $gcd(n-m,m)=1$，和 $n$ 互素的数总是成对出现
• 根据上一条可得，小于 $n$ 的数中，与 $n$ 互质的数的总和为 $\phi (n)\times n/2(n>1)$
• $n={\sum }_{d|n}\phi (d)$ ，即 $n$ 的因数（包括1和本身）的欧拉函数之和等于 $n$

实现代码

• 根据公式计算 $\phi (n)$ 直接枚举 $n$ 的所有素因子，复杂度和因式分解相同 $O(\sqrt{n})$

int phi(int n){
	int m=sqrt(n)+0.5;
	int ans=n;
	for(int i=2;i<=m;++i){
		if(n%i==0){
			ans=ans/i*(i-1);
			while(n%i==0) n/=i;
		}
	}
	if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
	return ans;
}

• 埃氏筛，找到一个素数，更新它和它的倍数，复杂度 $O(n\times lnln(n))$

int phi[maxn];

void init(){
	for(int i=1;i<maxn;++i) phi[i]=i;
	for(int i=2;i<maxn;++i){
		if(phi[i]==i){//代表i是素数
			for(int j=i;j<maxn;j+=i){
				phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
			}
		}
	}
}

• 欧拉筛，每个数被最小的因子筛掉的同时，再进行判断。$i$ 表示当前做到的这个数，$prime[j]$ 表示当前做到的质数，那要被筛掉的合数就是 $i\ast prime[j]$，若 $i\%prime[j]̸=0$，也就是 $gcd(i,prime[j])=1$ 互质时，则根据欧拉函数的积性函数的性质，$\phi (i\ast prime[j])=\phi (i)\times \phi (prime[j])$。若 $i\%prime[j]=0$，也就是这个合数的所有质因子都在i里出现过，那么根据公式，
  $$\phi (i\times prime[j])=i\times prime[j]\times \prod _{k=1}^n(1-\frac{1}{p_k})=prime[j]\times \phi (i)$$
  即可线性筛选 $O(n)$

  int prime[maxn],tot;
  int vis[maxn],phi[maxn];
  
  void init(){
  	phi[1]=1;
  	for(int i=2;i<maxn;++i){
  		if(!vis[i]){
  			prime[tot++]=i;
  			phi[i]=i-1;
  		}
  		for(int j=0;j<tot && 1LL*i*prime[j]<maxn;++j){
  			vis[i*prime[j]]=1;
  			if(i%prime[j]) phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
  			else{
  				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
  				break;
  			}
  		}
  	}
  }