HDU 2084: 数塔【简单dp】

HDU 2084: 数塔

Problem Description

在讲述DP算法的时候，一个经典的例子就是数塔问题，它是这样描述的：

有如下所示的数塔，要求从顶层走到底层，若每一步只能走到相邻的结点，则经过的结点的数字之和最大是多少？

已经告诉你了，这是个DP的题目，你能AC吗?

Input

输入数据首先包括一个整数C,表示测试实例的个数，每个测试实例的第一行是一个整数N(1 <= N <= 100)，表示数塔的高度，接下来用N行数字表示数塔，其中第i行有个i个整数，且所有的整数均在区间[0,99]内。

Output

对于每个测试实例，输出可能得到的最大和，每个实例的输出占一行。

Sample Input

1 5 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5

Sample Output

30

思路

蒟蒻近日决定开始肝dp，第一道简单dp专题题目就此记上。

动态规划的当前状态往往会依赖于前一阶段的状态，状态和状态方程共同因此我们需要根据题目中状态关系以及决策方式写出状态转移方程，状态以及状态转移方程也是dp的核心，理解不了状态，写不出对应的状态转移方程就谈不上解dp问题。

之前本蒟大跨步直接学了01背包和完全背包等，没有对背包的本质：动态规划算法有系统的了解，遇到树状背包直接卡死，扯着了蛋。故回来还债。

本题是一个数塔问题，简单粗暴到本蒟都能看懂。根据《算法竞赛入门经典》的指引，本蒟尝试着用dp的思想分析出了状态和转移方程。

将每个点(i,j)看作一个状态，对应指标函数d(i,j)表示从该点出发时包括该点在内能取到的最大和，由该状态定义我们可以知道，最底层的点的解即为点本身，最顶层的点(1,1)的解为我们所要求的答案。一般我们将各点的状态存入一个dp数组，在本题内我们可以省点空间，将分析完的状态直接存入每个点中。

状态分析出来了，接下来要写状态转移方程。对于一个点，其决策方式有两种，向左或向右，如果向左走，我们需要解决的子问题就变成了，该点往下走怎么走才能取得最大值，其决策方式也是两种。对于当前点来说要求得最优解，我们需要得到其下面两个点的最优解，故一路递推到倒数第二行，在该行内所有的点的子问题都有最优解，对于该行的点只需要求出左右两点哪个点最大，然后将其加到该点的值中得到该点的最优解，当本行所有点都得到最优解时，我们便可以回溯到倒数第三行，用同样的方式求得该行的最优解......这种结构大佬们叫做“最优子结构”，也就是我们要求出全局最优解，必须从局部最优解着手。

根据上面的分析，每个点都是找其下面两点中最优解最大的，故我们可以写出状态转移方程如下：

我们利用最底端的点d(i,j)=a(i,j)可向上回溯求出d(1,1)，于是我们推出本题的解法了。

这题是个简单题，看一眼就可以得出该怎么选，之所以写这么多有的没的是想要巩固dp的思维方式，下面上ac代码

AC代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <string>
#include <list>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <list>
#include <stack>
#include <map>
#include <bitset>

using namespace std;

int main()
{
    int tower[101][101];
    int n, i, j, c;
    scanf("%d", &c);
    while (c--)
    {
        scanf("%d", &n);
        for (i = 1; i <= n; i++)
        {
            for(j=1;j<=i;j++)
            {
                scanf("%d", &tower[i][j]);
            }
        }
        for (i = n - 1; i > 0; i--)
        {
            for(j=1;j<=i;j++)
            {
                tower[i][j] += max(tower[i + 1][j], tower[i + 1][j + 1]);
            }
        }
        printf("%d\n", tower[1][1]);
    }
    return 0;
}