BZOJ 1109 [POI2007]堆积木Klo DP

题意:

给定一个序列A，删除任意个数的数，使得生成的新序列B={a,b,c,d….}与序列C={1,2,3,4…..}一一对应的数的个数最多，求最多能对应多少个数。

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解析:

不妨列一下朴素的DP方程

$$f[i]=max(f[j]+1)(j<i且a[j]<a[i]且a[i]-a[j]<=i-j)$$
复杂度O(n^2)，显然不可过，所以需要进一步优化。
观察三个限定条件。
$1、j<i$
$2、a[j]<a[i]$
$3、a[i]-a[j]<=i-j即j-a[j]<=i-a[i]$
容易发现已知 $2,3$可以推出 $1$。
而$1$代表的是这 $n$个数的排列顺序。
而$2$的条件即为最长上升子序列。
所以我们不妨把 $3$看做这$n$个数的重新排列法则，之后满足 $2$的条件即可。
所以我们只需要按照$j-a[j]<=i-a[i]$把 $n$个数重新排列，接着求一个最长上升子序列长度即可。
需要注意的是，如果$i-a[i]<0$的话，那么显然这个数不可能与C序列中的某个数对应上，直接跳过即可。

代码:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 100100
#define M 1000100
using namespace std;
struct node
{
    int x,y;
    friend bool operator < (node a,node b)
    {
        if(a.x==b.x)return a.y<b.y;
        return a.x<b.x;
    }
}b[N];
int d[M],a[N];
int n,ma,tot;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        if(i-a[i]<0)continue;
        b[++tot].x=i-a[i],b[tot].y=a[i];
    }
    sort(b+1,b+tot+1);
    memset(d,0x3f,sizeof(d)); 
    for(int i=1;i<=tot;i++)
    {
        int l=1,r=ma,ans=0;
        while(l<=r)
        {
            int mid=(l+r)>>1;
            if(b[i].y>d[mid])ans=mid,l=mid+1;
            else r=mid-1;
        }
        ma=max(ma,ans+1);
        d[ans+1]=min(d[ans+1],b[i].y);
    }
    printf("%d\n",ma);
}