二维动态规划求解最小编辑距离——python

本文主要介绍如何使用Python通过二维动态规划算法来解决最小编辑距离问题。虽然具体内容暂未提供,但可以期待对动态规划的详细解释和具体的代码实现。

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  1. 实现暂时不挂,影响大家作业提交情况,后续添加。
  2. 挂上思路。
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### 动态规划解决编辑距离问题 编辑距离问题是经典的动态规划问题之一,其目标是找到将一个字符串转换成另一个字符串所需的最少操作次数。这些操作通常包括插入、删除和替换字符。 #### 1. 动态规划的核心思想 动态规划的关键在于将大问题分解为子问题并存储中间结果以避免重复计算。对于编辑距离问题,可以通过定义状态 `dp[i][j]` 来表示将字符串 `word1[0:i]` 转换为字符串 `word2[0:j]` 所需的最小操作数[^4]。 #### 2. 状态转移方程 当处理到两个字符串中的某个字符时,存在三种可能的操作: - 如果当前字符相同,则无需额外操作: \[ dp[i][j] = dp[i-1][j-1],\quad 当 word1[i-1]=word2[j-1] \] - 如果当前字符不同,则需要考虑以下三种情况取最小值: - 插入操作:`dp[i][j-1] + 1` - 删除操作:`dp[i-1][j] + 1` - 替换操作:`dp[i-1][j-1] + 1` 因此,完整的状态转移方程可以写为: \[ dp[i][j] = \begin{cases} dp[i-1][j-1],& 若 word1[i-1]==word2[j-1]\\ min(dp[i-1][j]+1,\, dp[i][j-1]+1,\, dp[i-1][j-1]+1),& 否则 \end{cases} \] 此公式涵盖了所有的可能性,并确保每次都能得到最优解[^5]。 #### 3. 边界条件 为了初始化动态规划表,我们需要设定边界条件: - 将空串转为目标串所需步数等于目标串长度:`dp[i][0] = i` - 将源串转为空串所需步数等于源串长度:`dp[0][j] = j` #### 4. 实现代码 以下是基于上述理论的 Python 实现代码: ```python def minDistance(word1: str, word2: str) -> int: m, n = len(word1), len(word2) # 创建 DP 表格并初始化 dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)] # 初始化边界条件 for i in range(1, m + 1): dp[i][0] = i for j in range(1, n + 1): dp[0][j] = j # 填充表格 for i in range(1, m + 1): for j in range(1, n + 1): if word1[i - 1] == word2[j - 1]: dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] else: dp[i][j] = min( dp[i - 1][j] + 1, # 删除 dp[i][j - 1] + 1, # 插入 dp[i - 1][j - 1] + 1 # 替换 ) return dp[m][n] ``` 这段代码实现了动态规划求解编辑距离的过程,时间复杂度为 O(m*n),其中 m 和 n 是输入字符串的长度。 --- ### 复杂度分析 - **时间复杂度**: 需要填充整个二维数组,故时间为 \(O(m \times n)\)。 - **空间复杂度**: 使用了一个大小为 `(m+1)*(n+1)` 的矩阵来保存所有子问题的结果,所以空间复杂度也是 \(O(m \times n)\)[^4]。 如果仅关注最终结果而不需要记录路径,还可以优化空间复杂度至线性级别。 ---
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