最小堆与最大堆

最大堆和最小堆是二叉堆的两种形式。

最大堆：根结点的键值是所有堆结点键值中最大者，且每个结点的值都比其孩子的值大。

最小堆：根结点的键值是所有堆结点键值中最小者，且每个结点的值都比其孩子的值小。

最小堆和最大堆的增删改相似，其实就是把算法中的大于改为小于，把小于改为大于。

生成最大堆：最大堆通常都是一棵完全二叉树，因此我们使用数组的形式来存储最大堆的值，从1号单元开始存储，因此父结点跟子结点的关系就是两倍的关系。

即：heap[father * 2] = heap[leftChild];  heap[father * 2 + 1] = heap[rightChild];

最大堆的初始化

在生成最大堆时，我们可以采取一次次遍历整棵树找到最大的结点放到相应的位置中。

但是这种方法有个不好的地方，就是每个结点都要重复比较多次。

所以我们可以换一种思考的顺序，从下往上进行比较。先找到最后一个有子结点的结点，先让他的两个子结点进行比较，找到大的值再和父结点的值进行比较。如果父结点的

值小，则子结点和父结点进行交换，交换之后再往下比较。然后一步步递归上去，知道所在结点的位置是0号位置跳出。这样就可以有效地减少比较所用到的时间。

但是每一次交换都要重复三步：heap[i] = temp; heap[i] = heap[j]; heap[j] = temp;

当树的结构比较大的时候，就会浪费很多时间。

所以我们可以先把父结点的值存到temp中跟子结点比较，如果子结点大的话就把子结点的值赋值给父结点，再往下比较，最后才把temp的值存到相应的位置。

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1. void Initialize(T a[], int size, int ArraySize)  
2. {  
3.     delete []heap;  
4.     isExist = false;  
5.     heap = a;  
6.     CurrentSize = size;  
7.     MaxSize = ArraySize;  
8.     //产生一个最大堆  
9.     for(int i = CurrentSize / 2; i >= 1; i --)  
10.     {  
11.         T y = heap[i];          //子树的根  
12.         //寻找放置y的位置  
13.         int c = 2 * i; //c的父节点是y的目标位置  
14.         while(c <= CurrentSize)  
15.         {  
16.             //heap[c］应是较大的同胞节点  
17.             if(c < CurrentSize && heap[c] < heap[c + 1])  
18.                 c ++;  
19.             //能把y放入heap[c / 2]吗？  
20.             if(y >= heap[c])  
21.                 break;          //能               
22.             else            //不能  
23.             {  
24.                 heap[c / 2] = heap[c];      //将孩子上移  
25.                 c *= 2;  
26.             }           //下移一层  
27.         }  
28.         heap[c / 2] = y;  
29.     }  
30. }  

最大堆的插入

最大堆的插入的思想就是先在最后的结点添加一个元素，然后沿着树上升。跟最大堆的初始化大致相同。

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1. MaxHeap<T> &Insert(const T&x)  
2.     {     
3.         if(CurrentSize == MaxSize)  
4.             exit(1);        //没有足够空间  
5.   
6.         //为x寻找应插入位置  
7.         //i从新的叶节点开始，并沿着树上升  
8.         int i = ++ CurrentSize;  
9.         while(i != 1 && x > heap[i/2])  
10.         {  
11.             //不把x放进heap[i]  
12.             heap[i] = heap[i/2];        //元素下移  
13.             i /= 2;     //移向父节点  
14.         }  
15.         heap[i] = x;        //这时候才把x放进去  
16.         return *this;  
17.     }  

最大堆的删除

最大堆的删除，即删除最大的元素。我们先取最后的元素提到根结点，然后删除最大值，然后再把新的根节点放到合适的位置。

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1. MaxHeap<T> &DeleteMax(T &x)  
2.     {  
3.         //检查堆是否为空  
4.         if(CurrentSize == 0)  
5.             exit(1);        //队列空  
6.   
7.         x = heap[1];        //最大元素  
8.         T y = heap[CurrentSize--];      //最后一个元素  
9.         //从根开始，重构大堆  
10.         int i = 1, ci = 2;      //ci为i的儿子  
11.         while(ci < CurrentSize)  
12.         {  
13.             if(ci < CurrentSize && heap[ci] < heap[ci + 1])           //比较两个子节点大小，取其大  
14.                 ci ++;  
15.             //能否放y  
16.             if(heap[ci] > y)     //不能  
17.             {  
18.                 heap[i] = heap[ci];     //孩子上移  
19.                 i = ci;                 //下移一层  
20.                 ci *= 2;  
21.             }  
22.             else            //能  
23.                 break;  
24.         }  
25.         heap[i] = y;  
26.         return *this;  
27.     }