87、拓扑学中“维度”概念的深入剖析

拓扑学中“维度”概念的深入剖析

1. n 维流形

在拓扑学里，“维度”是一个关键概念。最常见的 n 维空间例子是数值空间（或欧几里得空间）$R^n$，其点由 n 个实数$x_1, \cdots, x_n$构成。$R^n$中的任何超平面$H$（由线性方程$f(x) = 0$定义）会把空间分成两个半空间，分别由$f(x) > 0$和$f(x) < 0$界定。而且，任意两个不同点$x$和$y$，总能找到一个超平面$H$将它们“分隔”开。值得注意的是，$H$与$R^{n - 1}$同胚，所以它的“维度”是$n - 1$。

除了$R^n$，还有其他空间也可自然地归为“维度”为 n 的空间。比如，在$R^{n + 1}$中由方程$(X_1)^2 + \cdots + (X_{n + 1})^2 = 1$定义的球面$S_n$，它是一个封闭且有界的子空间，即紧致空间。通过球极投影，$S_n$去掉一个点后与$R^n$同胚，这表明$S_n$上的每个点都有一个与$R^n$同胚的开邻域。

再看实射影空间$P^n$，其点由$n + 1$个不全为零的齐次坐标$z_0, \cdots, z_n$定义，成比例的齐次坐标系统定义射影空间$P^n$中的同一点。$P^n$中坐标$z_i$为零的点集是一个封闭子空间$H_i$，它与$P^{n - 1}$同胚，$H_0$常被称为“无穷远超平面”。$H_i$的补集$U_i$是$P^n$中的开集，与$R^n$同胚。

一般而言，满足豪斯多夫分离公理（即任意两个不同点$x$和$y$，存在不相交的邻域），且每个点都有一个与$R^n$同胚的开邻域的拓扑空间$V$，被称为 n 维流形。显然，$R^n$、$S_n$和$P^n$都是 n 维流形。