86、关于斯廷罗德运算迭代的研究

关于斯廷罗德运算迭代的研究

1. 引言

本文旨在明确确定斯廷罗德迭代运算之间存在的关系。奇数素数 (p) 的情况与 (p = 2) 的情况有所不同。对于 (p = 2)，吴文俊首先猜想的迭代“平方” (Sq^aSq^b) 之间的关系已由 J. Adem 建立。后来，J.-P. Serre 和 R. Thom 指出了一种方便的计算这些关系的方法。对于奇数素数 (p)，斯廷罗德幂的迭代 (St^iSt^j) 之间的所有关系也已被确定。

2. 斯廷罗德运算的基本概念

• 符号定义 ：记 (Z) 为自然数环，(Z_p) 为模 (p)（(p) 为素数）的整数环（域）。
• 博克斯坦同态 ：对于任何拓扑空间 (X)，博克斯坦同态 (\text{exp}) 将上同调 (H^ (X; Z_p)) 映射到上同调 (H^ (X; Z))，并使度数增加 1。博克斯坦同态 (\beta_p: H^n(X; Z_p) \to H^{n + 1}(X; Z_p)) 定义为 (\text{exp}) 与自然同态 (H^{n + 1}(X; Z) \to H^{n + 1}(X; Z_p)) 的复合，且 (\beta_p \circ \beta_p = 0)。
• 斯廷罗德运算的定义 ：
  • 当 (p = 2) 时，(St^a = Sq^a)，即斯廷罗德平方。
  • 当 (p) 为奇数且 (a = 2k(p - 1)) 时，(St^a = \Phi^k)（在 [7] 中定义的