85、代数结构与稳定群的研究

代数结构与稳定群的研究

1. 可允许词及其对应运算

可允许词由字母 $a$ 和 $y_2$ 构成。词 $\alpha$ 的高度等于其中字母 $a$ 的数量，其度数通过对字母数量的递归定义：空词的度数为 0 ，且 $\text{deg}(a\alpha) = 1 + \text{deg}(\alpha)$，$\text{deg}(y_2\alpha) = 2\cdot\text{deg}(\alpha)$。度数与高度的差称为稳定度数。

可允许词是非空词，以 $a$ 开头并以 $a$ 结尾。若 $\alpha$ 是高度为 $n$ 的可允许词，那么高度为 $n + 1$ 的可允许词 $\beta$ 当且仅当 $\beta$ 形如 $a(y_2)^k$（$k$ 为任意非负整数）。

可允许词分为两类：第一类不以 $y_2a$ 结尾；第二类以 $y_2a$ 结尾。对于第一类可允许词 $\alpha$ ，存在一个映射 $f(\alpha): \Pi/2\Pi \to H^{n + q}(\Pi, n; \mathbb{Z}_2)$，其中 $n$ 和 $q$ 分别是 $\alpha$ 的高度和稳定度数，$f(\alpha)$ 通过对 $\alpha$ 的高度递归定义。对于第二类可允许词 $\alpha$ ，存在映射 $f(\alpha): 2\Pi \to H^{n + q}(\Pi, n; \mathbb{Z}_2)$，其定义也是递归的。并且这些映射 $f(\alpha)$ 是线性的。

2. 代数 $S(M^{(n)}(\Pi))$

对于每个 $n \geq 1$ ，定义一个 $\mathbb{Z}_2$ - 分次向量空间 $M^{(n)}(\Pi)