70、现代数学中的牛顿位势扫除理论与代数拓扑方法

现代数学中的牛顿位势扫除理论与代数拓扑方法

牛顿位势扫除理论中的极值性质

在牛顿位势扫除理论里，我们可以构建一个集合 (A’)，它具有电容分布，但其电容却为无穷大。具体而言，若 (c_i(A’))（或 (c_e(A’))）为有限值，那么当 (p) 无限增大时，(c_i(A’ \cap T_p))（或 (c_e(A’ \cap T_p))）会趋近于零。所以，我们可以构造出一个集合 (A’)，使得 (c_i(A’ \cap T_p))（或 (c_e(A’ \cap T_p))）有界但不趋近于零。

下面我们来探讨扫除分布的各种极值性质。这里我们固定一个分布 (\mu)，并回顾 (\mu -) 电容的定义：
- (c_{\mu}^i(A) = \int U_{\mu} d\mu^i_A = |\mu^i_A|^{1/2})
- (c_{\mu}^e(A) = \int U_{\mu} d\mu^e_A = |\mu^e_A|^{1/2})

这些结果同样适用于真正意义上的电容，只需在陈述中把位势 (U_{\mu}) 替换为常数 1，但要注意，此时仅考虑具有有限内（外）电容的集合。

以下是一些重要的性质：
1. 性质一 ：(-c_{\mu}^i(A))（或 (-c_{\mu}^e(A))）等于
(\frac{1}{2} \int (U_{\nu} - U_{\lambda} - 2U_{\mu})(d\nu - d\lambda))（高斯积分）在 (\nu) 和 (\lambda) 遍历 (\mathcal{S} {\mu}^i)（或 (\mathcal{S} {\mu}^