69、牛顿位势扫除理论相关研究

牛顿位势扫除理论相关研究

引言

在数学领域中，牛顿位势的扫除理论是一个重要的研究方向，它涉及到点的收敛、拓扑结构、集合的性质以及相关定理的应用等多个方面。下面将详细探讨该理论中的一些关键概念和定理。

分布的收敛与相关定理

• 分布的精细收敛与弱收敛
  • 当一个可变点 $y$ 精细地趋近于一个内部正则点 $x$ 时，分布 $(e_y)_i$ 精细地收敛于点分布 $e_x$。对于分布的弱收敛，有如下定理：
  • 定理 5 ：若可变点 $y$（在欧几里得空间的通常拓扑意义下）趋近于一个内部（或外部）正则点 $x$，则扫除分布 $(e_y)_i$（或 $(e_x)_e$）弱收敛于点分布 $e_x$。更一般地，若可变分布 $\mu$ 弱收敛于 $e_x$，且点 $x$ 是内部（或外部）正则的，则 $\mu_i$（或 $\mu_e$）弱收敛于 $e_x$。
  • 证明该定理只需证明对于每个球形分布 $\lambda$，当 $x$ 是内部正则点时，$\int V_{\lambda}de_x = \lim \int V_{\lambda}d\mu_i$，即 $U_{\lambda}(x) = \lim \int U_{\lambda}d\mu$。而这只需证明 $U_{\lambda}^i$ 在点 $x$ 处是连续函数。因为 $U_{\lambda}^i$ 是下半连续的，且被连续函数 $U_{\lambda}$ 所上界，并且在点 $x$ 处，$U_{\lambda}^i(x) = U_{\lambda}(x)$。