57、局部拓扑变换相关研究

局部拓扑变换相关研究

引言

本文主要探讨局部拓扑变换相关内容，分为两大部分。第一部分聚焦于确定路径及其应用，第二部分则研究局部拓扑变换序列的收敛性。

第一部分：确定路径及其应用

1. 抽象域与局部拓扑变换定义
   • 考虑(n)维抽象域，即能定义满足豪斯多夫条件（包括可分离性）邻域的点集，每个邻域与(n)维空间的超球同胚。
   • 给定两个(n)维抽象域(D)和(\Delta)，若存在法则使(D)中每个点(M)对应(\Delta)中唯一确定的点(P)，且(P)随(M)连续变化，称(P)为(M)的同源点。若该法则还满足：对于(D)内的每个点(M_0)，能关联一个包含(M_0)且在(D)内的邻域(U(M_0))，使得(U(M_0))中任意两个不同点的同源点在(\Delta)中也不同，则此法则定义了一个局部拓扑变换，记为(T)。
   • 由(D)和变换(T)可定义一个在(\Delta)内的域(\Delta’)，(\Delta’)中的每个点由(D)中的点和(\Delta)中的同源点组成。
   • 存在两种情况：一是(D)中可能有两个不同点对应(\Delta)中的同一点；二是(D)中不同点在(\Delta)中的同源点也不同，此时(\Delta’)是(\Delta)的子域。若(\Delta)中每个点都对应(D)中唯一一点，则(T)是(D)到(\Delta)的双射局部拓扑变换。
2. 确定路径的概念与定理
   • 对于局部拓扑变换(T)，(\Delta)中