46、小波变换：信号的时频分析利器

小波变换：信号的时频分析利器

1. 时频分析概述

在信号处理领域，对信号进行时频分析是一项重要任务。传统的傅里叶变换适用于“平稳”信号，即其特征随时间变化不明显的信号。然而，对于随时间变化的信号，傅里叶变换会将时间信息分散到所有频率分量中，难以确定频谱随时间的变化情况。因此，对于同一数据串中不同时间间隔内变化较大的信号，其快速傅里叶变换（FFT）的价值有限。

为了探索频谱随时间的变化，有几种方法可供选择。其中，短时间傅里叶变换（STFT）常用于频率分析仪和长时间信号分析。STFT 的数学表达式为：
[STFT{x(t)}(\tau, \omega) \equiv X(\tau, \omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)w(t - \tau)e^{-i\omega t} dt]
这里，(w(t - \tau)) 是一个钟形的窗函数，实际中常用汉宁或高斯形式，它仅在参考时间 (\tau) 附近的有限时间段内有显著值，在该时间段外为零。

在实际应用中，使用快速傅里叶变换（FFT）来分析每个时间窗口。通过选择窄窗函数 (w) 可以获得高时间分辨率，而宽窗函数则会导致较差的时间分辨率。在分析过程中，让 (\tau) 滑过整个待分析的数据串，并且可以选择下一个窗函数是否与前一个重叠以及重叠的大小。结果通常以频谱图的形式呈现，其中每个时间窗口中傅里叶分量的强度作为时间的函数绘制，强度通常通过颜色编码表示。

STFT 的优点是可以连续分析信号数周，数据串长度没有限制，因为实际上每次只选取有限的片段进行分析。然而，其缺点是频率分辨率与每个窗口的分析时间成反比，这意味着无论分析低频还是高频信号，频率分辨率（以及时间分辨率）都