13、基于特征向量和特征值的变换及其应用

基于特征向量和特征值的变换及其应用

在图像处理领域，基于特征向量和特征值的变换有着广泛的应用，其中主成分分析（PCA）变换是一种非常重要的方法。下面我们将详细介绍PCA变换在不同场景下的应用，包括二维物体主轴计算、降维、多光谱图像分析以及人脸识别等方面。

1. 二维物体主轴的计算

在许多图像处理应用中，确定一个方向未知的物体形状的主轴是很有用的。假设我们有一个相对于坐标轴（s1, s2）随机定向的物体，我们希望计算其质心和主几何轴的方向。

如果使用PCA变换，物体S的每个像素的坐标被视为随机变量（s1, s2），可以计算其均值和协方差矩阵：
- 均值计算：
- $\mu_{s1} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} s_{i1}$
- $\mu_{s2} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} s_{i2}$
- 协方差矩阵计算：
- $K_S \approx \frac{1}{N} \left( \sum_{i=1}^{N} S_i S_i^t \right) - \mu_S \mu_S^t$
其中，N表示物体S在二值图像中已检测到形状的像素数量，$S_i(s_{i1}, s_{i2})$ 是物体S的第i个像素，$K_S$ 是一个2×2的协方差矩阵。

物体的主几何轴的计算与PCA变换的主轴一致，它们对应于 $K_S$ 的特征向量。这些特征向量与像素最大几何分散方向垂直，即最大方差方向，并且特征向量具有正交性。

计算出 $K_S$ 协方差矩阵的特征向量A后，通过以下公式可以得到物体S相对于其质心 $\mu_S$ 的新坐标（u, v）：