12、基于特征向量和特征值的线性变换：PCA与KLT的原理及应用

基于特征向量和特征值的线性变换：PCA与KLT的原理及应用

1. 主成分分析（PCA）概述

主成分分析（PCA）是一种基于协方差矩阵特征值的数据简化统计方法。早期工作可追溯到1901年Pearson的研究，1933年心理学家Hotelling进一步发展了该方法并命名为“主成分分析”，在某些情况下也被称为“Hotelling变换”。随后，Karhunen和Loève开发了类似的变换，从连续信号中获得一组显著且不相关的系数。基于特征向量分析生成原始信号不相关显著系数的这些变换，在文献中统称为主成分分析（PCA），国际文献中也常用KLT（Karhunen - Loève变换）来称呼。

与之前介绍的酉变换（如DFT、DCT、DST等）不同，这些酉变换的变换矩阵与输入数据无关，目标是将数据投影到新空间，尽可能将信息集中在少数显著系数中。而KLT变换基于特征空间的概念，能实现具有两个基本特征的酉变换：输入数据的完全去相关和信息内容的最大可能压缩。

PCA变换的一般公式为：
[F_{PCA}(u, v) = \sum_{j=0}^{N - 1}\sum_{k=0}^{N - 1}S(j, k)A(j, k; u, v)]
其中(u, v = 1, 2, \cdots, N)，(S(j, k))是输入图像，变换的核矩阵(A(j, k; u, v))需满足特征值方程：
[\lambda(u, v)A(j, k; u, v) = \sum_{l=0}^{N - 1}\sum_{m=0}^{N - 1}K_{PCA}(j, k; l, m)A(l, m; u, v)]
这里(K_{PCA}(j, k; l, m))表示图像(S(j, k))的协方差矩阵，(\la