三角形最小路径和（经典DP / dfs+记忆化）

（偷懒中……）

给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。

相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。

例如，给定三角形：

[
[2],
[3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
]

自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

说明：

如果你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题，那么你的算法会很加分

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/triangle
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其实和这题不同路径2有点像

直接用dfs，如果数据过大，肯定超时。下面直接用甜姨的代码，我只想了下大致的思路，而没去写（最近有点累）。

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        return  dfs(triangle, 0, 0);
    }

    private int dfs(List<List<Integer>> triangle, int i, int j) {
        if (i == triangle.size()) {
            return 0;
        }
        return Math.min(dfs(triangle, i + 1, j), dfs(triangle, i + 1, j + 1)) + triangle.get(i).get(j);
    }
}


作者：sweetiee
链接：https://leetcode-cn.com/problems/triangle/solution/di-gui-ji-yi-hua-dp-bi-xu-miao-dong-by-sweetiee/
来源：力扣（LeetCode）
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

超时的原因是：大量的重复搜索，所以可以进行记忆化优化，优化的方式和不同路径2一样。下面也是甜姨的代码

class Solution {
    Integer[][] memo;
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        memo = new Integer[triangle.size()][triangle.size()];
        return  dfs(triangle, 0, 0);
    }

    private int dfs(List<List<Integer>> triangle, int i, int j) {
        if (i == triangle.size()) {
            return 0;
        }
        if (memo[i][j] != null) {
            return memo[i][j];
        }
        return memo[i][j] = Math.min(dfs(triangle, i + 1, j), dfs(triangle, i + 1, j + 1)) + triangle.get(i).get(j);
    }
}


作者：sweetiee
链接：https://leetcode-cn.com/problems/triangle/solution/di-gui-ji-yi-hua-dp-bi-xu-miao-dong-by-sweetiee/
来源：力扣（LeetCode）
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

最后就是DP了，这道题的状态转移方程其实很好想，采用备忘录的方式，用局部最优解出全局最优。

dp[i][j] 表示从点 (i,j)(i, j)(i,j) 到底边的最小路径和，

dp[i][j]=min(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])+triangle[i][j]。

据说本题是一道非常经典且历史悠久的动态规划题，其作为算法题出现，最早可以追溯到 1994 年的 IOI（国际信息学奥林匹克竞赛）的 The Triangle。时光飞逝，经过 20 多年的沉淀，往日的国际竞赛题如今已经变成了动态规划的入门必做题。

下图来自爆破天使组。

下面是甜姨的代码，自底向上的写法。

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int n = triangle.size();
        // dp[i][j] 表示从点 (i, j) 到底边的最小路径和。
        int[][] dp = new int[n + 1][n + 1];
        // 从三角形的最后一行开始递推。
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]) + triangle.get(i).get(j);
            }
        }
        return dp[0][0];
    }
}


作者：sweetiee
链接：https://leetcode-cn.com/problems/triangle/solution/di-gui-ji-yi-hua-dp-bi-xu-miao-dong-by-sweetiee/
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空间优化：triangle数组原地DP。代码来自甜姨。

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int n = triangle.size();
        int[] dp = new int[n + 1];
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j + 1]) + triangle.get(i).get(j);
            }
        }
        return dp[0];
    }
}


作者：sweetiee
链接：https://leetcode-cn.com/problems/triangle/solution/di-gui-ji-yi-hua-dp-bi-xu-miao-dong-by-sweetiee/
来源：力扣（LeetCode）
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