2023-07-04 Fast-Lio论文中公式(6)与BCH公式中近似雅可比公式的一致性推导

wmorries

已于 2023-07-07 20:04:29 修改

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文章标签：计算机视觉

于 2023-07-07 16:49:17 首次发布

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文章详细推导了Fast-Lio论文中的一个关键公式，该公式涉及到向量的外积和向量的模长，展示了一个关于逆矩阵的特定形式。通过数学变换，作者证明了这个公式与BCH公式中的雅可比公式是等价的，这在矩阵运算和Lie群理论中有重要应用。

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Fast-Lio论文中公式(6)与BCH公式中的近似雅可比公式是一致的，推导如下：
已知： $μ=θa,θ=∥μ∥,∥a∥=1\mu=\theta a,\theta=\lVert \mu \rVert, \lVert a \rVert =1$
于是：
$(μ∧)2∥μ∥2=θ2a∧a∧θ2=aaT−I(1)\tag 1 \frac{ {(\mu ^ \wedge)}^2}{ {\lVert \mu \rVert}^2}=\frac{\theta ^ 2 a^ \wedge a^\wedge}{\theta ^ 2}=a a^T -I$
那么：
$A(μ)−1=I−u∧2+(1−α(∥μ∥))(μ∧)2∥μ∥2α(m)=m2cot(m2)=m2cos(m/2)sin(m/2)(6)\tag 6 A(\mu)^{-1}=I-\frac{u ^ \wedge} 2 + (1-\alpha ( \lVert \mu \rVert ) )\frac{ {(\mu ^ \wedge)}^2}{ {\lVert \mu \rVert}^2} \\ \alpha ( m) = \frac m 2 cot(\frac m 2) = \frac m 2 \frac {cos(m / 2)}{sin( m / 2)}$