luogu 1527

新笑雨

于 2020-03-09 17:30:41 发布

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分类专栏： luogu 整体二分

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整体二分

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本文介绍了一种使用整体二分法和二维树状数组解决矩阵查询问题的算法。通过将所有操作整体处理，一次性得出所有询问的答案，有效避免了传统逐个二分的高时间复杂度。文章详细解释了算法思路，并提供了完整的C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接

解法

整体二分
首先有一个显然的对于每组询问都二分答案，然后 $O(n^2)$ 查询询问矩阵的做法。
在此基础上，本来笔者想要用主席树的在线算法解决问题，但是复杂度是 $O(qnlog^2n)$ ，不能通过，随即考虑整体二分。
整体二分的思路是将所有操作放在一起处理，一次性把所有询问的答案处理出来。
考虑本题，将矩阵内的每个值当作一次赋值操作，然后用二维树状数组维护，每次询问的时候考虑当前答案下询问矩阵中的数是否已经大于k,满足要求的放在左边，不满足的放在右边。

代码思路其实比较简单。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=505,maxq=6e4+5;
inline int read(){
	char c=getchar();int t=0,f=1;
	while((!isdigit(c))&&(c!=EOF)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(isdigit(c)&&(c!=EOF)){t=(t<<3)+(t<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return t*f;
}
int n,m;
struct que{
	int x1,y1,x2,y2,v,id;
	que(int _x1=0,int _y1=0,int _x2=0,int _y2=0,int _v=0,int _id=0){
		x1=_x1,y1=_y1,x2=_x2,y2=_y2,v=_v,id=_id;
	}
}q[maxn*maxn+maxq],q1[maxn*maxn+maxq],q2[maxn*maxn+maxq];
int tot;
int c[maxn][maxn];
#define lowbit(x) x&(-x)
int ans[maxq];
const int inf=1e9+7;
inline void add(int x,int y,int val){
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
	for(int j=y;j<=n;j+=lowbit(j))c[i][j]+=val;
}
inline int query(int x,int y){
	int ans=0;
	for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
	for(int j=y;j;j-=lowbit(j))ans+=c[i][j];
	return ans;
}
inline int query_a(int x1,int y1,int x2,int y2){
	return query(x2,y2)-query(x2,y1-1)-query(x1-1,y2)+query(x1-1,y1-1);
}
void solve(int l,int r,int L,int R){//[l,r]：值域，[L,R]：处理的操作区间
	/*printf("%d %d %d %d\n",l,r,L,R);
	for(int i=L;i<=R;i++){
		printf("%d %d\n",q[i].id,q[i].v);
	}*/
	if(L>R)return ;
	if(l==r){
		for(int i=L;i<=R;i++){
			if(q[i].id)ans[q[i].id]=l;
		}
		return ;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	int l1=0,l2=0;
	for(int i=L;i<=R;i++){
		if(!q[i].id){
			if(q[i].v<=mid){
				add(q[i].x1,q[i].y1,1);
			//	printf("%d %d\n",q[i].x1,q[i].y1);
				q1[++l1]=q[i];
			}
			else{
				q2[++l2]=q[i];
			}
		}
	//	printf("%d %d\n%d %d\n",query(1,1),query(1,2),query(2,1),query(2,2));
	}
	for(int i=L;i<=R;i++){
		if(q[i].id){
			int tmp=query_a(q[i].x1,q[i].y1,q[i].x2,q[i].y2);
			if(tmp>=q[i].v){
				q1[++l1]=q[i];
			}
			else{
				q[i].v-=tmp;
				q2[++l2]=q[i];
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=l1;i++)if(!q1[i].id)add(q1[i].x1,q1[i].y1,-1);
	for(int i=L;i<L+l1;i++){
		q[i]=q1[i-L+1];
	}
	for(int i=L+l1;i<=R;i++){
		q[i]=q2[i-L-l1+1];
	}
	solve(l,mid,L,L+l1-1);
	solve(mid+1,r,L+l1,R);
}
signed main(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			int v=read();
			tot++;
			q[tot]=que(i,j,0,0,v,0);
		}
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x1=read(),y1=read(),x2=read(),y2=read(),v=read();
		tot++;
		q[tot]=que(x1,y1,x2,y2,v,i);
	}
	solve(0,inf,1,tot);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	printf("%d\n",ans[i]);
	return 0;
}