Borel Sets and Lebesgue Measure

不可数的样本空间

  考虑这样一个实验：从区间$\Omega =[0,1]$中随机地选取一个实数，每一个数被取到的概率都是相等的。那么问题来了，单个实数被取到的概率是多少？有以下两种情况：

• 取到单个实数的概率为正值$ϵ$，考虑集合 A = { 1 , 2 , . . . , 1 n } A=\{1,2,...,\frac{1}{n} \} A={1,2,...,n1​}，那么A中元素被取到的概率为无穷大。
• 取到单个实数的概率为0，考虑一个不可数子集$A=[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]$，A中元素被取到的概率无法确定，因为概率测度在不可数不相交的并(这里指的是单元素集)上是不可加的。

  由上述情况可知，当样本空间是不可数的时候，比如$\Omega =[0,1]$，我们需要一种新的方法确定概率。对于$\Omega$的一些特定的子集，我们需要确定它们的概率。
  直观上来讲，我们希望我们的测度$\mu$ 满足以下两个性质：

• $\mu ((a,b))=\mu ((a,b])=\mu ([a,b))=\mu ([a,b])$
• 平移不变性。如果$A\in [0,1]$, 那么，$\forall x\in \Omega ，\mu (A\oplus x)=\mu (A)$。$A\oplus x$的定义如下：
  A ⊕ x = { a + x ∣ a ∈ A , a + x ≤ 1 } ∪ { a + x − 1 ∣ a ∈ A , a + x > 1 } A\oplus x=\{ a+x | a\in A,a+x \leq 1 \} \cup \{a+x-1|a\in A,a+x\gt 1 \} A⊕x={a+x∣a∈A,a+x≤1}∪{a+x−1∣a∈A,a+x>1}

  然而，不存在一个测度的定义$\mu (A)$使其对于[0,1]的所有子集都满足上述两个性质。

$\sigma$-algebra and Borel sets

  根据之前的分析，我们需要定义一个更小的$\sigma$-代数。首先我们来看一下关于集合的代数的定义。

• 集合代数

  • 环

      设$R$是由集构成的集类，并且由$A\in R,B\in R$能推出$$A\cup B\in R,A-B\in R$$
    则称R为$\sigma -$环。
      由定义可以看出，环对于并和差运算是封闭的。由于$A\cap B=A-(A-B)$，所以环对于交运算也是封闭的。

  • 集代数

      对于环R，如果满足：$$\exists X\in R,\forall E\in R,E\subseteq X$$
    即R中所有集合的全集也在R中，则R是X上的代数，称为R上的集代数。

• $\sigma$-algebra（$\sigma$-代数）

    设X为集合，假设有集合系$F\subseteq P(X)$，P(X)为X的幂集，如果F满足以下条件：

  • $X\in F$
  • $A\in F\to A^c\in F$
  • $\forall n\in N,A_n\in F\to {\cup }_{n=1}^{\infty }{A}_n\in F$

  则称F是X的$\sigma$-代数。
    $\sigma$-代数在集合代数的基础上对可数并运算是封闭的。集合X上的 $\sigma$-代数对于补运算也是封闭的。

• Borel sets

    接下来我们讨论生成$\sigma$-代数，样本空间子集的集合的生成$\sigma$-代数是包含该子集集合的最小$\sigma$-代数。
    对于生成$\sigma$-代数，有以下定理：
    假设C是$\Omega$的子集的集合，存在包含C中所有元素的最小的$\sigma$-代数$\sigma (C)$。
    Borel集的集合$B$是包含所有由实数组成的开集的最小$\sigma$-代数,也叫Borel $\sigma$-代数，B中的元素称为Borel可测集或Borel集。
    根据定义，开区间都是Borel集，单元素集合{b}也是Borel集，证明如下：
  { b } = ∩ n = 1 ∞ ( b − 1 n , b + 1 n ) \{b\}=\cap_{n=1}^{\infty}(b-\frac{1}{n},b+\frac{1}{n}) {b}=∩n=1∞​(b−n1​,b+n1​)
  由$\sigma$-代数的性质，B(表示Borel集)中元素的可数交运算也是B中的元素。所以，{b}是Borel集。
  值得注意的是，实数集R上的Borel $\sigma$-代数的基数和R的基数是一样的(等我看懂了证明过程后再写一篇博客)。

• Lebesgue algebra

  给定集合$\Omega =(0,1]$. $F_0$由空集和形如(a,b]的左开右闭区间的有限并集组成。$F_0$中的元素的形式如下：$$F=(a_1,b_1]\cup (a_2,b_2]\cup ...\cup (a_n,b_n]$$
  其中，$0\le a_1<b_1\le a_2<b_2\le ...\le a_n<b_n,n\in N$.
  $F_0$满足以下性质：

  • $F_0$是集代数
    由定义，$\varphi \in F_0$，${\varphi }^c=(0,1]\in F_0$，$F_0$中元素的并还是$F_0$中元素；$F_0$中元素的补的形如$(0,a_1]\cup (b_1,a_2]\cup ....\cup (b_n,1]$，还是$F_0$中的元素；$A\cap B=(A^c\cup B^c{)}^c$，F_0对交运算封闭；$A-B=A\cap B^c$，$F_0$对差运算封闭。因此，$F_0$是集代数。
  • $F_0$不是$\sigma$-代数
    $(0,\frac{n}{n+1}]\in F_0$，${\cup }_{n=1}^{\infty }(0,\frac{n}{n+1}]=(0,1]\notin F_0$，所以$F_0$不是$\sigma$-代数。
  • $\sigma (F_0)=B$
    证明略。

  对于$F_0$中的元素F，我们定义函数$P_0:F_0\to [0,1]$，$P_0$满足：
  $$P_0(\varphi )=0P_0(F)=\sum _{i=1}^n(b_i-a_i)$$
  $P_0$在$F_0$上是可数可加的，对于不相交的集合$(a_1，b_1],...,(a_n,b_n]$，${\cup }_{i=1}^n(a_i,b_i]\in F_0$，$P_0({\cup }_{i=1}^n(a_i,b_i])={\sum }_{i=1}^n{P}_0((a_i,b_i])={\sum }_{i=0}^n(b_i-a_i)$，$P_0$可以被称作(0,1]上的Lebesgue测度。
  对于单元素集合 { b } \{b\} {b}，$b\in (0,1]$，有，
  $$P(b)=P({\cap }_{n=1}^{\infty }(b-\frac{1}{n},b]\cap \Omega )=P({\cap }_{n=1}^{\infty }(b-\frac{1}{n},b])=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$$.
  由于可数集都是单元素集合的可数并集，可数集的测度为0.
  在概率空间中，事件A几乎一定发生意味着P(A)=1，但是P(A)=1不意味着$A=\Omega$.
  利用之前的定义，我们可以计算康托集K的测度。
  $$P(K^c)=\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+....=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{2}{3}}=1$$
  $$P(K)=1-P(K^c)=0$$

参考资料：

• Borel sets and Lebesgue measure

• Borel set