11、特殊微分方程、函数与多项式的深入解析

特殊微分方程、函数与多项式的深入解析

1. 特殊函数概述

在求解一些二阶常微分方程（ODE）时，会得到特殊函数。这些特殊函数在众多领域有着广泛的应用，下面为你介绍几种常见的特殊函数。
- Gamma 函数 ：Gamma 函数在特殊函数的研究中经常出现，特别是在描述贝塞尔函数时。其定义为(\Gamma(p)=\int_{0}^{1}x^{p - 1}e^{-x}dx)，其中(p\geq0)且(p\in R)。Gamma 函数具有以下性质：
- (\Gamma(1)=1)
- (\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi})
- (\Gamma(p + 1)=p\Gamma(p))
- 对于整数(p)，(\Gamma(p + 1)=p!)
- 对于非整数的负值(x)，(\Gamma(x)=\frac{1}{x}\Gamma(x + 1))
- 当(x\gt0)时，Gamma 函数可导，(\Gamma’(x)=\int_{0}^{1}\ln(t)t^{x - 1}e^{-t}dt)
- Gamma 函数的倒数是一个整解析函数，而 Gamma 函数在零和负整数处有简单极点。

1.1 Gamma 函数的计算示例

• 计算(\Gamma(3.25)) ：已知(\Gamma(1.25)=0.9064)，因为(\Gamma(p + 1)=p\Gamma(p))，所以(\Gamma(2.25)=1.25\Gamma(1.25))，(\Gamma(3.25)=2.25\Gamma(2.25)=2.25\times1.