4、二阶及高阶常微分方程的线性与朗斯基行列式

二阶及高阶常微分方程的线性与朗斯基行列式

1. 二阶常微分方程基础

二阶常微分方程（ODE）显式包含二阶导数项，但不包含更高阶导数，其形式为 $F(x, y, y’, y’‘) = 0$。例如，$y’’ = 3$ 就是一个二阶常微分方程，其中 $x$、$y$、$y’$ 可能不明确出现。满足该方程的函数称为解，可以通过将解代入 ODE 来验证。

二阶常微分方程可分为线性和非线性两类：
- 线性二阶常微分方程 ：形式为 $y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x)$，其中 $p$、$q$、$f$ 是方程的系数函数，$f$ 也称为强迫函数。若 $f = 0$，则该方程为齐次方程；否则为非齐次方程。系数函数必须仅为自变量的函数或常数，否则为非线性方程，如 $y’’ + yy’ + xy = 3$ 就是非线性方程，因为一阶导数项的系数既不是常数也不是 $x$ 的函数。
- 二阶线性初值问题 ：形式为 $y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x)$，$y(x_0) = a$，$y’(x_0) = b$，其中 $x_0$、$a$、$b$ 是给定的数，$y(x_0) = a$ 和 $y’(x_0) = b$ 称为 ODE 的初始条件。

将二阶及高阶 ODE 降为一阶 ODE 是一种广泛使用的求解方法，MATLAB 求解 ODE 时也会采用此方法。柯西 - 欧拉型 ODE 是具有可变系数的线性二阶 ODE 的特殊形式。

2. 线性与朗斯基行列式的相关问题及求解

2.1 求 ODE 的通解

问题：求 ODE $y’