19、地震数据反演与投资组合保险的Matlab计算方法

地震数据反演与投资组合保险的Matlab计算方法

1. 地震数据反演

1.1 地震数据反演概述

地震数据反演旨在将叠后地震反射数据转换为声阻抗，声阻抗是岩石的固有物理性质，与岩性、孔隙度以及水或油饱和度等储层特征密切相关。常见的地震反演方法包括递归方法和稀疏脉冲方法，当稀疏脉冲反演受低频模型约束时，即为基于模型的反演。

1.2 地震 - 井数据匹配

在进行地震反演之前，需要进行准确的深度 - 时间转换，使井日志声阻抗（AI）数据与地震数据的垂直尺度匹配，以实现空间关联。这一过程通过声波测井和初始双程旅行时间完成，通常称为地震 - 井匹配。合成道的计算基于卷积模型，需要已知代表地震脉冲的子波。通过将卷积模型表示为线性系统并求解子波，可以进行确定性子波提取。

1.3 基于模型的地震反演

所有地震反演方法的基本前提包括：地球可局部表示为具有恒定物理性质的平行层叠；地震道可表示为反射系数序列与带限子波的卷积加上随机噪声。对于零入射角，反射系数与叠置层的声阻抗对比直接相关，通过递归反演方程可将反射率转换为阻抗。为了正确使用递归反演，需要将地震道反褶积为反射率序列，这可通过约束稀疏脉冲优化程序实现。

反射率估计完成后，将其转换为声阻抗的步骤如下：
1. 计算空间对应AI向量的线性趋势并减去，得到残差AIres向量。
2. 计算AIres的傅里叶频谱。
3. 将反射率序列应用于递归反演方程，得到相对AIrel向量。
4. 计算AIrel的傅里叶频谱。
5. 确定标量α以匹配AIrel和AIres的平均功率。
6. 将AIrel的频谱乘以α。
7. 对AIres进行低通滤波并添加到步骤6的结果中。
8. 对步骤7的结果进行逆傅里叶变换。
9. 将步骤1中的低频趋势添加到步骤8的结果中。

1.4 Matlab算法实现

• 地震 - 井匹配 ：使用Seislab 3.011中的l_depth2time和s_wavextra函数。l_depth2time从给定深度和时间开始对声波测井进行反转和积分，计算双程旅行时间；s_wavextra在提供反射率序列和井周围的观测地震道时，进行确定性子波提取，并输出合成道和与观测道的相关系数。
• 稀疏脉冲反演 ：使用SeismicLab包中的sparse_decon函数，通过迭代加权最小二乘法进行L1正则化，从观测地震道和子波中获取反射率序列。
• 低频模型生成 ：使用mGstat的krig函数进行普通克里金法，从已知的井AI值生成低频模型。
• 递归反演 ：使用CREWES组的blint函数，在频域中计算递归反演方程的求和。通过Matlab的fft和ifft函数进行域转换，并提供低、高频截止值。
• 低频AI模型合并 ：首先从AI日志中减去日志趋势，将日志转换到频域并应用低通滤波器，最后使用mergetrcs函数将结果与blint的带限输出合并，再转换回时域并恢复日志趋势。
• 可视化 ：使用SeisLab中的s_wplot和s_cplot函数进行二维地震数据可视化，s_volume_browser进行三维地震数据可视化，l_plot进行井日志数据可视化。

1.5 应用示例

以Well 2为例，展示了深度 - 时间转换、地震 - 井匹配、反射率、子波、合成道和观测道的频谱内容。通过调整每口井周围的五条道并保留局部均值进行地震 - 井匹配，计算全局均值用于远离井的道的反演。定义了低频和高频截止值分别为5 Hz和60 Hz，确定了烃储层的顶部和底部，得到了三维AI反演模型，该模型与观测地震数据的平均相关系数为0.95。

2. 投资组合保险的计算方法

2.1 投资组合保险概述

投资组合保险基于风险转移原则，最小成本投资组合保险是一种重要的投资策略。在某些市场结构中，最小成本保险投资组合与证券价格无关，这依赖于向量格（Riesz空间）的理论。我们主要研究向量子格和格子空间这两类向量格的子空间。

2.2 向量子格和格子空间的基本概念

在Rk空间中，点序关系定义为x ≤ y当且仅当x(i) ≤ y(i)，对于每个i = 1, …, k。正锥Rk+ = {x ∈ Rk | x(i) ≥ 0, 对于每个i}。有序子空间X是格子空间，如果对于X中的任意两个向量x, y，{x, y}的上确界和下确界都存在于X中；有序子空间Z是向量子格，如果{x, y}在Rk中的上确界和下确界都属于Z。如果X有正基B = {b1, b2, …, bm}，则X+ = {x = ∑m i=1 λibi | λi ≥ 0, 对于每个i}。向量子格一定是格子空间，但反之不成立。

2.3 判断子空间性质的数学问题

给定一组线性独立的正向量{x1, x2, …, xn}，判断子空间X = [x1, x2, …, xn]是否为Rk的向量子格或格子空间。定义基本函数β(i) = {x1(i) / z(i), x2(i) / z(i), …, xn(i) / z(i)}，其中z = ∑n i=1 xi，z(i) > 0。R(β)是β的取值范围，cardR(β)是R(β)中不同元素的数量。K是R(β)的凸包，是一个具有d个顶点的多面体。

判断定理如下：
- X是Rk的向量子格，当且仅当R(β)恰好有n个点（即m = n），且X的正基{b1, b2, …, bn}由公式(b1, b2, …, bn)T = A−1(x1, x2, …, xn)T定义，其中A是第i列是向量Pi的n × n矩阵。
- X是Rk的格子空间，当且仅当多面体K有n个顶点（即d = n），且X的正基{b1, b2, …, bn}由上述相同公式定义。

2.4 算法实现

判断子空间性质的算法步骤如下：
1. 确定R(β)。
2. 计算cardR(β) = m和多面体K的顶点数d。
3. 如果n = m（向量子格情况）或n = d（格子空间情况），则确定X的正基。

2.5 计算方法

使用Matlab函数SUBlatSUB实现上述算法。该函数首先检查给定向量集合是否生成向量子格，如果是，则输出“vector sublattice”并给出正基矩阵；如果不是，则检查是否生成格子空间，如果是，则输出“lattice - subspace”并给出正基矩阵；否则输出“not a lattice - subspace”。

2.6 数值示例

通过多个示例展示了SUBlatSUB函数的使用，包括不同维度和向量集合的情况。同时，比较了SUBlatSUB函数和K函数的执行时间，结果表明SUBlatSUB函数在计算效率上具有明显优势。

2.7 共面点情况处理

当点位于q流形（q ≤ n - 1）中时，convhulln函数在计算凸包时会遇到问题。可以通过以下方法解决：
1. 将点平移到通过原点的超平面。
2. 确定子空间的一组基向量。
3. 将点转换到等效的低维空间。
4. 在低维空间中形成凸包三角剖分。

2.8 有限维格子空间在C[a, b]中的应用

在C[a, b]空间中，格子空间是在诱导序下的向量格。判断子空间X = [x1, …, xn]是否为C[a, b]的格子空间的方法基于Wronskian准则和基本曲线β。如果Wronskian在区间[c, d]（包含[a, b]）内非零，则X不是格子空间。通过计算β的取值范围、极限集、导数为零的点的像等，确定可能的极端子集，并检查是否存在极端子集来判断X是否为格子空间。

2.9 投资组合保险中的应用

2.9.1 Rk中的投资组合保险

在Rk空间中，假设市场中有N种证券，其支付向量为x1, x2, …, xN。投资组合θ的支付为P(θ) = ∑N n=1 θnxn。在给定证券价格向量p和底价向量k的情况下，最小成本保险投资组合是满足P(η) ≥ P(θ) ∨ k且使p · η最小的投资组合。如果X是Rk的格子空间，则最小成本保险投资组合可以通过以下步骤计算：
1. 使用SUBlatSUB函数计算X的正基{b1, b2, …, bN}。
2. 将支付向量x和底价向量k表示为正基的线性组合，即x = ∑N i=1 λibi，k = ∑N i=1 µibi。
3. 计算x ∨X k = ∑N i=1 max{λi, µi}bi。
4. 求解线性系统∑N n=1 θnxn = ∑N i=1 max{λi, µi}bi，得到最小成本保险投资组合θk。

2.9.2 C[a, b]中的投资组合保险

在C[a, b]空间中，假设市场中有n种证券，其支付为正元素x1, x2, …, xn。投资组合θ的支付为P(θ) = ∑n i=1 θixi。在给定证券价格向量p和底价投资组合φ的情况下，最小成本保险投资组合是满足P(η) ≥ P(θ) ∨ P(φ)且使p · η最小的投资组合。如果资产跨度X是C[a, b]的格子空间，则最小成本保险投资组合可以通过将P(θ)和P(φ)展开为正基的线性组合，然后计算P(θφ) = ∑n i=1 (λi ∨ µi)bi得到。

2.10 有效基金理论中的应用

在证券市场中，通过期权对空间X进行完备化，定义了空间FU(X)。使用SUBlatSUB函数可以计算市场的完备化和有效基金。具体步骤包括确定最大线性独立向量子集，计算正基，然后根据相关定理判断向量是否为有效基金。

综上所述，这些计算方法通过引入新的Matlab函数，如SUBlatSUB、wr、V、L、I、sisets和xitest，为确定向量子格和格子空间提供了有效的工具，同时在投资组合保险和有效基金理论中具有重要的应用价值。未来，这些算法和方法有望在数值分析、更广泛的拓扑空间以及实际应用中得到进一步的研究和发展。

3. 方法总结与对比

3.1 地震数据反演与投资组合保险方法对比

应用领域	核心方法	关键步骤	主要函数
地震数据反演	基于模型的反演，结合稀疏脉冲反演和递归反演	地震 - 井匹配、反射率估计、声阻抗转换、低频模型合并	l_depth2time、s_wavextra、sparse_decon、krig、blint、mergetrcs
投资组合保险	利用向量子格和格子空间理论，计算最小成本保险投资组合	判断子空间性质、确定正基、计算投资组合支付	SUBlatSUB、wr、V、L、I、sisets、xitest、mcpinsurance

从表格中可以看出，虽然两个领域的应用场景不同，但都依赖于一系列的计算步骤和特定的Matlab函数来实现目标。地震数据反演侧重于数据处理和模型构建，而投资组合保险则更关注数学理论的应用和投资策略的计算。

3.2 不同函数的性能对比

在投资组合保险的计算中，SUBlatSUB函数和K函数的性能对比如下：

示例	SUBlatSUB执行时间（秒）	K函数执行时间（秒）
示例0.2	0.052	0.516
示例0.3	0.030	0.828
示例0.4	0.035	0.969

从表格数据可以明显看出，SUBlatSUB函数在计算效率上远高于K函数，能够更快地给出计算结果，减少计算资源的消耗。

4. 实际操作流程

4.1 地震数据反演操作流程

graph LR
    A[数据准备] --> B[地震 - 井匹配]
    B --> C[稀疏脉冲反演]
    C --> D[低频模型生成]
    D --> E[递归反演]
    E --> F[低频AI模型合并]
    F --> G[可视化]

具体操作步骤如下：
1. 数据准备 ：收集井日志数据（包括声波测井、密度测井）和地震数据。
2. 地震 - 井匹配 ：使用l_depth2time函数计算双程旅行时间，使用s_wavextra函数进行子波提取和合成道计算。
3. 稀疏脉冲反演 ：调用sparse_decon函数从观测地震道和子波中获取反射率序列。
4. 低频模型生成 ：使用krig函数进行普通克里金法，从已知的井AI值生成低频模型。
5. 递归反演 ：利用blint函数在频域中计算递归反演方程的求和，通过fft和ifft函数进行域转换。
6. 低频AI模型合并 ：从AI日志中减去日志趋势，将日志转换到频域并应用低通滤波器，使用mergetrcs函数将结果与blint的带限输出合并，再转换回时域并恢复日志趋势。
7. 可视化 ：使用s_wplot、s_cplot、s_volume_browser和l_plot函数进行数据可视化。

4.2 投资组合保险计算操作流程

graph LR
    A[数据准备] --> B[判断子空间性质]
    B --> C{是否为格子空间}
    C -- 是 --> D[确定正基]
    C -- 否 --> E[结束]
    D --> F[计算投资组合支付]
    F --> G[计算最小成本保险投资组合]

具体操作步骤如下：
1. 数据准备 ：确定证券的支付向量、价格向量和底价向量或投资组合。
2. 判断子空间性质 ：使用SUBlatSUB函数判断由证券支付向量生成的子空间是否为向量子格或格子空间。
3. 确定正基 ：如果是格子空间，使用SUBlatSUB函数确定子空间的正基。
4. 计算投资组合支付 ：将投资组合的支付向量和底价向量表示为正基的线性组合。
5. 计算最小成本保险投资组合 ：根据相关公式计算最小成本保险投资组合。

5. 代码示例

5.1 地震数据反演代码示例

% 地震 - 井匹配
% 计算双程旅行时间
travel_time = l_depth2time(sonic_log, start_depth, start_time);
% 子波提取
[wavelet, synthetic_trace, correlation] = s_wavextra(reflectivity, observed_trace);

% 稀疏脉冲反演
reflectivity_series = sparse_decon(observed_trace, wavelet);

% 低频模型生成
low_frequency_model = krig(ai_values_at_wells);

% 递归反演
ai_from_reflectivity = blint(reflectivity_series, low_cutoff, high_cutoff);

% 低频AI模型合并
log_trends = polyfit(time_vector, ai_logs, degree);
log_trends_values = polyval(log_trends, time_vector);
ai_logs_without_trends = ai_logs - log_trends_values;
ai_logs_freq_domain = fft(ai_logs_without_trends);
filtered_ai_logs = lowpass_filter(ai_logs_freq_domain);
merged_ai_logs = mergetrcs(filtered_ai_logs, ai_from_reflectivity);
final_ai_logs = ifft(merged_ai_logs) + log_trends_values;

% 可视化
s_wplot(seismic_data);
s_volume_browser(three_d_seismic_data);
l_plot(well_log_data);

5.2 投资组合保险计算代码示例

% 判断子空间性质
[positivebasis, dimensions] = SUBlatSUB(matrix_of_vectors);

% 计算最小成本保险投资组合
function [theta_k]=mcpinsurance(a,floorvector,portfolio)
    payoffvector=sum(a*diag(portfolio),2);
    positivebasis=SUBlatSUB(a)’;
    r=(positivebasis\payoffvector);
    k=(positivebasis\floorvector’);
    w=max(r,k)’;
    sup=w*positivebasis’;
    theta_k=a\sup’;
end

% 调用示例
theta_k = mcpinsurance(payoff_vectors_matrix, floor_vector, portfolio_vector);

6. 总结

本文介绍了地震数据反演和投资组合保险的计算方法，涵盖了从基本理论到实际操作的全过程。地震数据反演通过一系列的处理步骤，将地震反射数据转换为声阻抗，为油气储层的表征提供了重要信息。投资组合保险则利用向量子格和格子空间的理论，计算最小成本保险投资组合，为投资者提供了有效的风险控制策略。

通过引入新的Matlab函数，如SUBlatSUB、wr、V、L、I、sisets和xitest，这些计算方法变得更加高效和准确。同时，实际操作流程和代码示例为读者提供了具体的实现指导，方便在实际应用中使用。未来，这些方法有望在更多领域得到应用和发展，为相关行业带来更多的价值。