16、无限状态系统符号前向分析的终止性研究

无限状态系统符号前向分析的终止性研究

1. 基本命题与定理

• 命题 1 ：若无限状态系统 S 的每个简单循环相对于所有变量都是初始化的，则该系统的符号前向分析会以局部蕴含终止。
  • 证明思路 ：证明与每个初始化字符串 w 关联的约束转换函数要么是常量函数，要么不可满足。假设符号前向分析不终止，那么约束树中存在无限路径 p，由于系统中位置有限，必然有简单循环 w 无限次出现。考虑路径 p 上两个节点 s1 和 s2，由于循环 w 的约束转换函数是常量函数，这两个节点的约束相同，局部蕴含检查会终止分析，与路径 p 无限的假设矛盾。
• 定理 1 ：o - 极小混合系统的符号前向分析会以局部蕴含终止。
  • 证明 ：在 o - 极小系统中，每条边以及每个循环都是初始化的。
• 命题 2 ：若矩形混合系统 S 的每个简单循环相对于所有变量都是弱初始化的且有保护条件，则该系统的符号前向分析会以局部蕴含终止。
  • 证明思路 ：在无限路径 p 中，要么有同一简单循环的两次连续出现，该循环对某些变量是常量函数，对其他变量是恒等函数，从而两次出现对应的约束相同；要么循环及其入口或出口是常量函数，由于常量函数有限，必然有两次出现给出相同约束。

2. 组合推理与终止性