26、中心势问题的量子力学分析

中心势问题的量子力学分析

在量子力学中，中心势问题是研究粒子在具有球对称性势场中运动的重要内容。下面将详细探讨不同情况下中心势问题的求解及相关物理特性。

1. 波函数在不同 r 值下的行为

了解波函数在 r 取极端值时的行为是很有帮助的。这里主要关注束缚态，但在原点附近，这种限制并非必要。

1.1 r 趋近于 0 时的波函数行为

通过考察径向的定态薛定谔方程（TISE），当 U(r) 对 r 的依赖不强于 1/r² 时，在原点附近，离心项起主导作用。此时径向方程可近似为：
(-\frac{d^2u(r)}{dr^2} + \frac{\ell(\ell + 1)}{r^2}u(r) = 0)
尝试解的形式为 (u(r) = r^s)，代入方程可得：
(s(s - 1) = \ell(\ell + 1))
其解为 (s = -\ell) 和 (s = \ell + 1)。不过在原点附近，(r^{-\ell}) 会趋于无穷大，因此不可取。所以当 (r \to 0) 时，有：
(u(r) \sim r^{\ell + 1})
(R(r) \sim r^{\ell})

1.2 r 趋近于无穷大时的波函数行为

假设 U(r) 能支持束缚态，此时径向 TISE 变为：
(\frac{d^2u(r)}{dr^2} - \kappa^2u(r) = 0)
其中 (\kappa = \sqrt{-2mE/\hbar^2})。对于束缚态 (E < 0)，解为 (e^{\pm\kappa r})，但正指数项在无穷远处会趋于无穷大，所以舍去。因此有：