25、量子力学中的角动量与中心势问题

量子力学中的角动量与中心势问题

1. 三维量子力学中的角动量回顾

在量子力学里，角动量的概念与经典力学有所不同。量子物理中定义的角动量算符（可观测量）需遵循严格准则，即其分量的对易子要满足特定方程。除了轨道角动量，多数角动量算符并无经典对应。

1.1 角动量算符相关问题

下面列出一些与角动量算符有关的问题：
1. 求 $[\hat{J} x \hat{J}_y, \hat{J}_z]$ 。
2. 证明 $[\hat{J} {\pm}, \hat{J} z] = \mp\hbar\hat{J} {\pm}$ 。
3. 证明 $\hat{J} + \hat{J} - = \hat{J}^2 - \hat{J} z^2 + \hbar\hat{J}_z$ 。
4. 证明 $\hat{J} \times \hat{J} = i\hbar\hat{J}$ 。从经典角度看这不合理，但依据角动量的对易规则，在量子力学层面是合理的。
5. 求 $\langle \hat{J}_x \rangle$ 和 $\langle \hat{J}_x^2 \rangle$ 对于 $\hat{J}^2$ 和 $\hat{J}_z$ 的本征态。
6. 求 $\Delta \hat{J}_x$ 、 $\Delta \hat{J}_y$ 和 $\Delta \hat{J}_z$ 对于 $\hat{J}^2$ 和 $\hat{J}_z$ 的本征态，并验证它们与角动量的基本对易规则 $[\hat{J}_i, \hat{J}_j] = i\hbar\hat{J}_k\epsilon