微分的傅里叶变换为什么是jw，积分的傅里叶变换为什么是1/jw？

最新推荐文章于 2025-11-02 17:21:19 发布
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#微分 #傅里叶

本文深入探讨了微分和积分操作在傅里叶变换中的表现形式，解释了为什么微分的傅里叶变换是jw，而积分的傅里叶变换是1/jw。通过理解微分器和积分器的单位冲激响应，揭示了信号处理中频率域和时域之间的内在联系。

微分的傅里叶变换为什么是jw，积分的傅里叶变换为什么是1/jw？
首先说明：微分的傅里叶变换式其实就是微分器单位冲激响应的信号的傅里叶变换式。积分的傅里叶变换式其实就是积分器单位冲激响应的信号的傅里叶变换式。

待续，，，，，，

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傅里叶分析之掐死教程（完整版）
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傅里叶逆变换 -考研良哥信号与系统复习大全
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洪源兄
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学习笔记：用冲激函数的傅里叶变换求阶跃函数的傅里叶变换
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给定的参考引用中未提及傅立叶变换时域微分性质成立的条件相关内容。 傅立叶变换时域微分性质是指：若函数 \(x(t)\) 的傅立叶变换为 \(X(j\omega)\)，则 \(x(t)\) 的一阶导数 \(x^\prime(t)\) 的傅立叶变换为 \(j\omega X(j\omega)\)。该性质成立的条件通常要求函数 \(x(t)\) 满足绝对可积条件，即 \(\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|dt<\infty\)，并且 \(x(t)\) 是分段光滑的，也就是在其定义域内只有有限个第一类间断点和有限个极值点。 ```python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.fft import fft, fftfreq # 定义一个满足条件的示例函数 t = np.linspace(-10, 10, 1000) x = np.exp(-np.abs(t)) # 计算函数的导数 dt = t[1] - t[0] x_prime = np.gradient(x, dt) # 计算函数及其导数的傅里叶变换 X = fft(x) X_prime = fft(x_prime) # 计算频率轴 N = len(t) frequencies = fftfreq(N, dt) # 理论上导数的傅里叶变换 jwX = 1j * 2 * np.pi * frequencies * X # 绘制结果 plt.figure(figsize=(12, 6)) plt.subplot(1, 2, 1) plt.plot(frequencies, np.abs(X_prime), label='FFT of x\'(t)') plt.plot(frequencies, np.abs(jwX), label='jwX(jw) (Theoretical)', linestyle='--') plt.xlabel('Frequency (Hz)') plt.ylabel('Magnitude') plt.legend() plt.subplot(1, 2, 2) plt.plot(frequencies, np.angle(X_prime), label='Phase of FFT of x\'(t)') plt.plot(frequencies, np.angle(jwX), label='Phase of jwX(jw) (Theoretical)', linestyle='--') plt.xlabel('Frequency (Hz)') plt.ylabel('Phase (radians)') plt.legend() plt.tight_layout() plt.show() ```
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