97、分层数学库组织的证明论方法

分层数学库组织的证明论方法

1. 规则与定理基础

1.1 重命名规则

重命名（rename）规则用于更改单个变量的名称。其附带条件是新名称 β 不能在 π 中任何位置出现，这对应于 α - 转换。

1.2 证明系统的可靠性

证明系统的可靠性要求规则的一系列应用能将类型为 ϕ 的证明项转换为类型为 ψ 的新证明项，且 ϕ 和 ψ 在一阶等价意义下是等价的。用 π ⇒τ 表示证明项 τ 可通过我们的证明规则从 π 一步推导得出。

1.3 定理 2

若 π ⇒τ 且 Γ ⊢π : ϕ，则 Γ ⊢τ : ψ，其中 ϕ 和 ψ 在一阶等价意义下等价。该定理的证明采用对证明项进行归纳的方法。

1.4 引理

为证明（generalize）规则的情况，需要关于替换的几个引理，这里将引理表述为元类型规则：
- 引理 2 ：
[
\frac{\Gamma, p : \phi_p, L : \phi \vdash \tau : \psi}{\Gamma, p : \phi_p, L : \phi_p \to \phi \vdash \tau[L/L_p] : \psi}
]
其中 (L = \pi) 不在 τ 中出现。
- 引理 3 ：
[
\frac{\Gamma, L : \phi \vdash \tau : \psi}{\Gamma, L : \forall x.\phi \vdash \tau[L/L_x] : \psi} <