79、证明理论中的规则与构造性示例

证明理论中的规则与构造性示例

在证明理论中，我们常常需要证明在特定假设下，某个项具有特定的类型。例如，要在每个 $L_i$ 具有类型 $\phi_i$ 的假设下，证明 $\tau$ 具有类型 $\phi$。下面我们将详细介绍证明规则以及一个构造性的示例。

1. 证明表示

我们以证明 (7) 和 (8) 为例，将证明表示如下：

thm =
let lem= λxλyλzλP.(Proof of lemma)
in
λaλbλcλzλQλR.trans (sym (lem Q)) (lem R)
end

其中， thm 是 (7) 的名称， lem 是 (8) 的名称。为了便于阅读，我们省略了证明项对单个项的应用，这些应用代表了对单个变量的替换。$P$、$Q$ 和 $R$ 分别是类型 $x = y$、$a = b$ 和 $a = c$ 的证明。

如果我们像 (12) 那样只对 $z$ 进行一次全称量化，证明可表示为：

thm =
λz.let lem= λxλyλP.(Proof of lemma)
in
λaλbλcλQλR.trans (sym (lem Q)) (lem R)
end

可以看出，$\lambda$-抽象的位置与单个变量的全称量化位置存在一一对应关系。

2. 证明规则结构

我们使用一种形式为 $L; C; T$ 的结构来进行证明的创建和操作，其中：
- $L$ 是定理库，形式为 $T_1 = \pi_1, \l