Eigen密集矩阵求解 1 - 线性代数及矩阵分解

简介

这里介绍线性系统的解析，如何进行各种分解计算，如LU，QR，SVD，特征值分解等。

简单线性求解

在一个线性系统，常如下表示，其中A，b分别是一个矩阵，需要求x：
$$Ax=b$$

在Eigen中，我们可以根据需要的精确性要求，性能要求，从而从好几种方法中选择一种来求解这个线性系统。

下面的示例，可以看到一种求解方法。

//matrxi_decomp1.cpp
#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>

using namespace std;
using namespace Eigen;

int main()
{
   
   
   Matrix3f A;
   Vector3f b;

   A << 1,2,3,  4,5,6,  7,8,10;
   b << 3, 3, 4;
   
   cout << "Here is the matrix A:\n" << A << endl;
   cout << "Here is the vector b:\n" << b << endl;
   
   Vector3f x = A.colPivHouseholderQr().solve(b);
   
   cout << "The solution is:\n" << x << endl;
}

执行：

$ g++   -I /usr/local/include/eigen3 matrxi_decomp1.cpp -o matrxi_decomp1
$ 
$ ./matrxi_decomp1 
Here is the matrix A:
 1  2  3
 4  5  6
 7  8 10
Here is the vector b:
3
3
4
The solution is:
      -2
0.999997
       1

这个示例中，使用矩阵的colPivHouseholderQr()方法，其返回一个ColPivHouseholderQR实例对象。因为调用对象是一个Matrix3f类型，所以也可以如此设计

ColPivHouseholderQR<Matrix3f> dec(A);
Vector3f x = dec.solve(b);

正如名字所示，这里ColPivHouseholderQR是一个采用列旋转方法的QR分解。下面Eigen提供的表列出了你可以使用分解类型：

Decomposition	Method	Requirements on the matrix	Speed(small-to-medium)	Speed(large)	Accuracy
PartialPivLU	partialPivLu()	Invertible(可逆)	++	++	+
FullPivLU	fullPivLu()	None	-	- -	+++
HouseholderQR	householderQr()	None	++	++	+
ColPivHouseholderQR	colPivHouseholderQr()	None	+	-	+++
FullPivHouseholderQR	fullPivHouseholderQr()	None	-	- -	+++
CompleteOrthogonalDecomposition	completeOrthogonalDecomposition()	None	+	-	+++
LLT	llt()	Positive definite(正定)	+++	+++	+
LDLT	ldlt()	Positive or negative semidefinite	+++	+	++
BDCSVD	bdcSvd()	None	-	-	+++
JacobiSVD	jacobiSvd()	None	-	- - -	+++

其中的部分分解公式：

• FullPivLU:
  $$A=P^{-1}LU{Q}^{-1}$$

• ColPivHouseholderQR:
  $$\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{Q}\mathbf{R}$$

• Full