Eigen密集矩阵求解 2 - 求解最小二乘系统

简介

本篇介绍如何使用Eigen求解线性最小二乘系统。

一个系统可能无精确的解，比如Ax=b的线性方程式，不存在解。这时，找到一个最接近的解x，使得偏差Ax-b尽可能地小，能够满足误差要求error-margin。那这个x就称为最小二乘解。

这里讨论3个方法： SVD分解法，QR分解法，和规范等式。这中间，SVD分解法精度最高，但效率最差；规范式最快但精度最小；而QR分解法居中。

奇异值分解(SVD)法（Singular value decomposition）

使用Eigen中的BDCSVD类的的solve()方法，就能直接解出线性二乘系统了。但对奇异值计算，这样并不足够，你也会需要计算奇异向量。

示例如下，其使用了Matrix的bdcsvd()方法来创建一个BDCSVD类的实例：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>

using namespace std;
using namespace Eigen;

int main()
{
   
   
   MatrixXf A = MatrixXf::Random(3, 2);
   cout << "Here is the matrix A:\n" << A << endl;

   VectorXf b = VectorXf::Random(3);
   cout <<