笔记递推递归分治

最新推荐文章于 2025-03-16 10:06:46 发布

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本文探讨了递归和递推在解决问题中的应用，以洛谷平台上的几道算法题目为例，详细解释了如何利用递归和递推策略解决覆盖墙壁、栈的出栈序列计数、平面上的最接近点对等问题。通过实例展示了递归分治、记忆化搜索和动态规划等方法，并分析了复杂度。此外，还强调了在面对问题时，如何将问题分解并利用数学模型来简化问题，如卡特兰数的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

递归和递推

递归和递推解决问题的思考方向相反：递归关心怎样把问题分解成规模更小的相似子问题，递推关心怎么从一个规模更小的状态得到一个规模更大的状态。

洛谷P1990 覆盖墙壁

在我们已经铺好了 2 * N 块砖后，我们可以：

通过铺一块 I 型砖头到达 $2 * (N + 1)$ 块砖头的状态
通过铺两块 I 型砖头到达 $2 * (N + 2)$ 块砖头的状态
通过铺两块 L 型砖头以及若干块 I 型砖头到达 $2 * (N + k) (k \geq 3)$ 块砖头的状态，每一种结果都对应着两种方案（上下颠倒一下）

因此，我们有递推式： $f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}+2*(f_{n-3}+...+f_{1})$ ，我们可以继而求出另一个通项公式： $f_{n}=2*f_{n-1}+f_{n-3}$ ，或者我们也可以用前缀和来简化计算。

洛谷P1044 栈

首先我们想用搜索的方法来暴力求解。容易看出虽然我们要求的是“出栈序列的总数”，但是我们并不用关心具体的数字顺序是什么。这是因为在任意一个时刻，我们只能有入栈、出栈两种选择，并且这两种选择对应的结果必然不相同。

证明：考虑任意一个状态，设栈顶的元素为 top，出栈序列中已经有了 k 个元素。如果我们此时选择出栈，那么出栈序列的第 k + 1 个元素为 top。如果我们选择入栈，那么入栈的那个元素在出栈序列中必然排在 top 前面，也就是说 top 不可能成为出栈序列的第 k + 1 个元素。

根据以上的结论，我们发现真正有意义的信息其实就是“还没入栈的元素个数”和“栈中的元素个数”，因此不难写出以下的搜索代码：（初始执行search(n, 0)）

long long search(int num1, int num2) {
	if (num1 == 0) return 1;
	else if (num2 == 0) return search(num1 - 1, 1);
	else return search(num1, num2 - 1) + search(num1 - 1, num2 + 1);
}

但是这样会超时，因此我们使用记忆化搜索的策略，使用 $f_{i, j}$ 来表示“有 i 个元素还没入栈”并且“有 j 个元素在栈中”的方案数，初始为 $f_{0, j} = 1$ 。

long long search(int num1, int num2) {
	if (f[num1][num2] != 0);
	else if (num2 == 0) f[num1][num2] = search(num1 - 1, 1);
	else f[num1][num2] = search(num1, num2 - 1) + search(num1 - 1, num2 + 1);
	return f[num1][num2];
}

//for (int i = 1; i <= n; ++i) f[0][i] = 1;

我们使用递归 + 优化的方式 AC 了这一题。

我们也可以使用递推的方式，我们有递推式： $f_{i,j}=\begin{cases} 1& \text{i = 0} \\ f_{i-1, j+1}& \text{j = 0} \\ f_{i, j-1} + f_{i-1, j+1} \end{cases}\$

因此：

for (int i = 0; i <= n; ++i) f[0][i] = 1;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
	for (int j = 0; j <= n; ++j) {
		if (j == 0) f[i][j] = f[i - 1][1];
		else f[i][j] = f[i][j - 1] + f[i - 1][j + 1];
	}
}

最后，让我们从数学上分析这个问题：这其实就是卡特兰数。

设 $f_{n}$ 为 n 个数字出栈序列的方案数，我们第一步进行的操作无疑是将 1 入栈，此时待入栈的序列为 2 3 ... n - 1。

我们考虑数字 1 在出栈序列中的位置：若 1 排在第 k 位，那么在 1 出栈时，前 k - 1 个元素都已经历了由出栈到出栈的过程，方案数为 $f_{k-1}$ ，在此之后还有 n - k - 1 个元素需要经历由出栈到出栈的过程，方案数为 $f_{n - k-1}$ 。由乘法原理，我们有公式：

$f_{n}=\sum_{i=0}^{n-1} f_{i}*f_{n - i - 1}$

$f_{n}$ 其实就是卡特兰数，我们也有其他的表达式：

$f_{n}=\frac{\binom{2n}{n}}{n+1}$

$f_{n}=\frac{4n-2}{n+1}f_{n-1}$

$f_{n}=\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n-1}$

实质上，卡特兰数的模型为：执行相等数量的任意两种操作，要求在执行第 k 次操作 2 时必须先执行 k 次操作 1。这个模型有很多实际例子，比如 n 对括号的合法序列个数，n 个元素的进出栈方案数，n + 1 个叶子的无标号二叉树个数，n + 2 边形的三角剖分方案数，从原点向右或向上不穿过 y = x 走到 (n, n) 的方案数等等。

对于最后一个例子，我们可以用折线法和减法原理来解答：

我们将 y = x 看作新的 x 轴，那么我们是要从 (0, 0) 走到 (n, 0)，每一步能够往右上方或者右下方走一个对角线的方向。假如说没有不穿过坐标轴的限制，那么我们的方案数其实就是要在 2n 步中选择 n 步向右上方走，为 $\binom{2n}{n}$ 。现在我们思考不合法的方案数，对于任意跨越坐标轴的方案，它必然与 y = -1 相交，那么我们将在交点之前的部分沿 y = -1 翻转，转化成为从 (0, -2) 走到 (n, 0) 的方案数，为 $\binom{2n}{n-1}$ 。因此最后我们有 $f_{n}=\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n-1}$ 。

在别人的博客上看到几个练习题，先放在这

洛谷P1928 外星密码

这道题代码的写法稍微有些惊艳到了我，因为我是写不出来这个。思路很易懂：对于每一个左方括号都意味着进入下一层递归，待所有的都处理完后（以遇到右括号为中止条件）就把字符串返回。这是经典的递归分治思想：不管方括号内部的运算细节，只当 s 就是方括号内最终的结果。这段代码也涉及到了很多 C++ 实用的东西：比如 string 的加号表示字符串连接，scanf 返回的是成功输入的元素个数（为 EOF 就表示输入终止），整数的读入会自动省略掉后面的非法字符。

string work() {
	string temp;
	char c;
	while (scanf("%c", &c) != EOF) {
		if (c == ']') break;
		else if (c == '[') {
			int d;
			scanf("%d", &d);
			string s = work();
			while (d--) temp += s;
		}
		else {
			temp += c;
		}
	}
	return temp;
}

分治

当我们解决一些较大的问题时，我们可以将这个问题分成几个较小的子问题，分别解决之后，使用得到的信息求解较大问题的答案。我们可以不断递归下去，直到问题的规模足够小后直接解决。假设原问题的规模为 n，我们每次将问题的规模削减一半，那么会分成两个规模为 $\frac{n}{2}$ 的子问题，继而分成四个规模为 $\frac{n}{4}$ 的子问题...... 在 $logn$ 次后问题的规模会变成常数级别。因此，假如说处理子问题并合并的复杂度为 $O(1)$ ，那么分治的复杂度为 $O(logn)$ 。假如说处理子问题并合并的复杂度为 $O(n)$ ，那么分治的复杂度为 $O(nlogn)$ 。

洛谷P1226 【模板】快速幂

如果我们可以知道 $b^{\lfloor \frac{p}{2} \rfloor}$ ，那么我们就可以轻而易举地合并出 $b^{p}$ ，代码如下：

long long pow(long long now) {
	if (now == 0) return 1;
	if (now == 1) return b;
	if (now == 2) return b * b % k;
	if (now == 3) return (b * b % k) * b % k;
	if (now == 4) return ((b * b % k) * b % k) * b % k;
	long long tmp = pow(now / 2) % k;
	tmp = (tmp * tmp) % k;
	if (now & 1) return (tmp * b) % k;
	else return tmp;
}

多加几个 now 的判断可以缩短运行时间。

洛谷P1115 最大子段和

我们在序列中任意选一个元素，那么最大的子段要么在这个元素左面，要么在这个元素右面，要么包括这个元素。我们的递归分治即可以此为基础：对于前两种情况，它们是规模更小的子问题；而对于最后一种情况，我们只需要求出以该点为一个端点的最大子段和即可得到答案，最后我们对三个答案取最大值。该算法的时间复杂度为 $O(nlogn)$ 。

int solve(int left, int right) {
    if (right - left == 1) return num[left];
    int mid = (left + right) / 2, sum = 0, tmp1 = INT_MIN, tmp2 = INT_MIN, d = max(solve(left, mid), solve(mid, right));
    for (int i = mid; i < right; ++i) {
        sum += num[i];
        tmp1 = max(sum, tmp1);
    }
    sum = 0;
    for (int i = mid - 1; i >= left; --i) {
        sum += num[i];
        tmp2 = max(sum, tmp2);
    }
    return max(d, tmp1 + tmp2);
}

这个问题也有 $O(n)$ 的算法，仅需扫描一遍数组即可。 $f_{i}$ 为“以第 i 个元素结尾的最大子段和”，最终 $max(f_{i})$ 即为答案。

f[0] = num[0];
for (int i = 0; i < n; ++i) {
    f[i] = num[i] + max(0, f[i - 1]);
}
int maxn = f[0];
for (int i = 1; i < n; ++i) maxn = max(maxn, f[i]);

我们甚至可以用滚动数组优化使它仅使用常数空间。在这里我们换了一种写法，大体思路是：使用 sum 记录前缀和并实时维护最大值，如果 sum 变成了负数，那么此时对于下一个元素，我们只应该选择它本身（选择前面的会使结果变小），于是我们将 sum 设置为 0 重新开始。

int n, maxn, sum, d;
scanf("%d%d", &n, &maxn);
sum = maxn;
while (--n){
    scanf("%d", &d);
    sum = sum > 0 ? sum : 0;
    sum += d;
    maxn = maxn > sum ? maxn : sum;
}

洛谷P1257 平面上的最接近点对和洛谷P1429 平面最近点对（加强版）

fabs 是对浮点数类型的绝对值运算，因为 abs 函数的参数类型是 int。定义 cmp 函数时里面写的是小于号。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

double INF;

struct Point{
    double x, y;
};
Point point[200005];

double dist(Point a, Point b) {
    return sqrt((a.x - b.x) * (a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y));
}

bool cmpx(const Point &a, const Point &b) {
    return a.x < b.x;
}

bool cmpy(const Point &a, const Point &b) {
    return a.y < b.y;
}

double solve(int left, int right) {
    if (right - left == 1) return INF;
    if (right - left == 2) return dist(point[left], point[left + 1]);
    int mid = (left + right) / 2, k = 0;
    static Point temp[200005];
    double minn = min(solve(left, mid), solve(mid, right));
    for (int i = left; i < right; ++i) if (fabs(point[i].x - point[mid].x) <= minn) temp[k++] = point[i];
    sort(temp, temp + k, cmpy);
    for (int i = 0; i < k; ++i) {
        for (int j = i + 1; j < k; ++j) {
            if (temp[j].y - temp[i].y > minn) break;
            minn = min(minn, dist(temp[i], temp[j]));
        }
    }
    return minn;
}

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        scanf("%lf%lf", &point[i].x, &point[i].y);
    }
    INF = dist(point[0], point[1]);
    sort(point, point + n, cmpx);
    printf("%.4lf\n", solve(0, n));
    return 0;
}

CodeForces343C Painting Fence

这题我一开始想复杂了，试图把“横着涂”和“竖着涂”两种情况交替纳入考虑，但是没法通过所有的点，至今不懂为什么。

这也提醒我不要把一开始的想法就作为算法的一部分，而是将他们作为题目的性质纳入考虑，最终结合所有的性质得出一个步骤详尽的算法。

回到这个题目上来，对于一个高度为 h 的竖列，要么我们直接从上往下涂一道将这个竖列涂色，要么我们横向涂抹 h 次。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, num[5005];
bool is_painted[5005];

int solve(int left, int right, int level) {
    if (right - left == 1) return 1;
    int minn = num[left], ans = 0;
    for (int i = left + 1; i < right; ++i) minn = min(minn, num[i]);
    ans += minn - level;
    level = minn;
    for (int i = left; i < right; ++i) {
        if (num[i] == level) is_painted[i] = true;
    }
    for (int pos = left; pos < right; ++pos){
        if (is_painted[pos]) continue;
        int tmp = pos + 1;
        for (; num[tmp] > level && tmp < right; ++tmp);
        while (num[tmp - 1] == level) --tmp;
        ans += solve(pos, tmp, level);
        pos = tmp;
    }
    return min(right - left, ans);
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        scanf("%d", &num[i]);
    }
    printf("%d\n", solve(0, n, 0));
    return 0;
}