递归与分治

一、递归与分治概述：

1、分治方法在于分和治。将一定规模的问题划分成性质相同的若干个小问题，分；对于每个小问题，进行所需要进行的操作，如排序等。

2、关于递归：

（1）递归中需要的成分是递归边界和递归规则，没有递归边界递归无法停止、无法进行。

（2）通过将各层的关系从小到大逐渐带入，可以求解出一个函数的非递归表达式。

（3）n该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。

3、Ackerman函数：

Ackerman函数的定义为：

根据关系可以递推出来:

在m取不同的值的过程中，该函数的递推关系式也不同。只是一种无法用单一的非递归关系表达的函数。

4、在Ackerman函数中，定义它的逆拟函数α（n）为使A(x)>n成立的最小的x。

5、整数划分问题：

对于整数的不同划分，考虑以下几种不同的情况:(1)m>n:q(n,m)=q(n,n)

(2)m=n:q(n,m)=1+q(n,m-1)

(3)m<n:q(n,m)=w(n,m)+q(n,m-1)

又：w(n,m)=q(n-m,m)

(4)m=1:q(n,1)=1

6、汉诺塔问题：

思路：将前n-1个元素移动到c上，然后将第n个移动到b上，再将c上的n-1个移动到b上。

注意边界条件是：如果只有一个元素，直接move到b上。

void Move(int no,char a,char b){
    printf("Move %d from %c to %c.\n",no,a,b);
}
void Hanoi(int n,char a,char b,char c){
    if(n==1){
        Move(1,a,b);
    }
    else{
    Hanoi(n-1,a,c,b);
    Move(n,a,b);
    Hanoi(n-1,c,b,a);
    }

}

7、分治法的基本思想：将一个叫难解决的大问题分成k个规模较小的子问题，逐个解决，分而治之。如果问题的规模还不够小，就继续划分，直到可以直接解决这个小问题。将求出的小问题自下而上的合并，最终得到问题的解

8、递归的概念：

递归算法：直接或间接地调用自身的算法。

递归函数：用函数自身给出定义的函数。

使用递归技术使得算法的描述简捷且易于理解

10、分治法满足的要求：

（1）问题的规模缩小到一定的程度就可以解决

（