贝叶斯滤波器

贝叶斯滤波器

定义以下运动和观测模型：

$$\begin{array}{rl}& \text{运动方程：}{\mathbf{x}}_k=f\left({\mathbf{x}}_{k-1},{\mathbf{v}}_k,{\mathbf{w}}_k\right),k=1,\cdots ,K\\ & \text{观测方程：}{\mathbf{y}}_k=g\left({\mathbf{x}}_k,{\mathbf{n}}_k\right),k=0,\cdots ,K\end{array}$$

变量和符号定义如下：

• ${\mathbf{x}}_k\in {\mathbb{R}}^N$ 表示系统状态
• ${\mathbf{x}}_0\in {\mathbb{R}}^N$ 表示初始状态
• ${\mathbf{v}}_k\in {\mathbb{R}}^N$ 表示输入
• ${\mathbf{w}}_k\in {\mathbb{R}}^N$ 表示过程噪声
• ${\mathbf{y}}_k\in {\mathbb{R}}^M$ 表示测量
• ${\mathbf{n}}_k\in {\mathbb{R}}^M$ 表示测量噪声
• $k$ 为时间下标，最大值为 $K$
• 函数 $f(\cdot )$ 为非线性的运动模型
• 函数 $g(\cdot )$ 为非线性的观测模型

贝叶斯滤波仅使用过去以及当前的测量，通过构造一个完整的概率密度函数PDF，来计算当前状态 ${\mathbf{x}}_k$ 的置信度：

$$P\left({\mathbf{x}}_k\mid {\check{\mathbf{x}}}_0,{\mathbf{v}}_{1:k},{\mathbf{y}}_{0:k}\right)\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中， ${\check{\mathbf{x}}}_0$ 表示 0 时刻系统状态的先验。

贝叶斯滤波器可以用下面公式表示：

$$\begin{array}{rl}& \underset{\text{后验置信度 }}{\underbrace{p\left({\mathbf{x}}_k\mid {\check{\mathbf{x}}}_0,{\mathbf{v}}_{1:k},{\mathbf{y}}_{0:k}\right)}}\\ =& \eta \underset{\text{利用 }\mathbf{g}(\cdot )\text{ 进行更新 }}{}\end{array}$$