[2017集训队作业自选题#149]小c的岛屿

前言

感觉这题挺棒棒的。

题目描述

小c有n个岛屿。她为了管理岛上的人，决定让这些岛屿连通。
每个岛屿i有一个概率值pi，和一个友好列表Ai。
小c首先来到了1号岛屿，她会依次执行下面操作：
1、设现在在岛屿x，有px的概率产生一条无向边连接两个随机岛屿，这两个岛屿不会相同，也不会已经有边相连。（即在尚不存在的无向边中随机一条加入图中，不会加自环）
2、如果此时所有岛屿连通，她就会心满意足地离开。
3、否则她会在当前点的友好列表中，随机选择一个，走到那座岛屿上。她的不满意度会+1，并重复第1步。
求小c的期望不满意度。
题目中的概率都是在模10^9+7域下给出的，答案也需要在模域下求。
即，设答案是a/b，b的逆元是x，你需要输出ax mod 10^9+7的值。

n^6做法

我们设e(x,i)表示当前在x号点，已经连了i条边，还要期望经过多少步才能使图联通。
我们设q表示i条边不连通的图在加入了一条不重复的边之后联通的概率。
设dx表示点x的度数。
那么$e(x,i)=p_x(1-q)\frac{1}{d_x}\sum_{x->y}(e(y,i+1)+1)+(1-p_x)\frac{1}{d_x}\sum_{x->y}(e(y,i)+1)$
我们分层来做，可以注意到如果q能够求出，每层内可以高斯消元。
那么复杂度是m*n^3=n^5。
现在问题是这个q怎么求。
显然 q=所有i+1条边联通图的桥边个数和(n∗(n−1)/2−i)∗i条边不连通图的个数