集训队数论作业

最新推荐文章于 2020-12-24 18:35:51 发布

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本文解析了三道算法竞赛题目，包括Hdu4704、hdu1395和hdu5750，涉及快速幂、费马小定理、欧拉筛法等算法技巧，通过实例讲解如何解决复杂数学问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

传送门：https://cn.vjudge.net/contest/273543#overview

T1：Hdu 4704

Problem Description

Sample Input

Sample Output

Hint

1. For N = 2, S(1) = S(2) = 1. 2. The input file consists of multiple test cases.

题意：给定一个N，S(k)是能够可以满足下面连个条件的个数：条件1：x1,x2,....xk是正整数；条件2：这k个数加起来为N

让我们求从S(1)加到S(N)的总和取模1e9+7

题解：在草稿纸上多些几组可以找到一个规律就是一个二项式定理

题目就变成了求2^n-1对1e9+7取模然后可以用到快速幂和费马小定理，由于数据比较大，我们就可以用到欧拉降幂公式：

æ¬§æéå¹å¬å¼

其中第一个十字的函数 y=p-1

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
const ll model=1000000007;
ll quick_pow(ll a,ll b)//快速幂
{
	ll ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
		{
			ans=(ans*a)%model;
			b--;
		}
		b/=2;
		a=a*a%model;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	string N;
	while(cin>>N)
	{
		ll n=0;
		ll len=N.size();
		for(int i=0;i<len;i++)
		{
			n=(n*10+N[i]-'0')%(model-1);
		}
		ll res=quick_pow(2,n-1);
		cout<<res<<endl;
	}
	return 0;
}

T2：hdu 1395

题意：给一个整数n，求满足2^x%x==1的的x如果不存在就输出2^? mod n = 1 否则输出 2^x mod n =1;

题解：直接暴力就可以求出，如果n是偶数或者是1，那么肯定无解

所以就需要考虑为奇数的情况，费马小定理

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int main()
{
	int n;
	while(cin>>n)
	{
		if(n%2==0||n==1)
		{
			printf("2^? mod %d = 1\n",n);
		}
		else
		{
			int x=2,sum=1;
			while(x!=1)
			{
				x<<=1;
				x%=n;
				sum++;
			}
			printf("2^%d mod %d = 1\n",sum,n);
		}
	}
	return 0;
}

T3：hdu 5750

题意：给一个n 还有一个 d 询问（1，n）区间内有多少个以d为最大因子的数

题解：先找出1e9内所有的素数（欧拉素数筛）为啥要找出素数，如果要是偶数的话肯定偶数有一个因子为2，那个2*d就是最大因子了，找出素数的同时还要判断这个素数（x），x是否比d大，比d大的不要；x*d>=n的不要；x为d的因子且x!=d的不要；其他的都满足了

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define M 50010
int Prime[M];
bool Is_prime[M];
int T,n,d;
int p=0;
void Ouler()
{
	memset(Is_prime,1,sizeof(Is_prime));
	Is_prime[0]=Is_prime[1]=0;
	for(int i=2;i<=M;i++)
	{
		if(Is_prime[i]){
			Prime[p++]=i;
			for(int j=2*i;j<=M;j+=i)
			{
				Is_prime[j]=0;
			}
		}
	}
}
int main()
{
	Ouler();
	scanf("%d",&T);
	int ans;
	while(T--)
	{
		scanf("%d%d",&n,&d);
		ans=0;
		for(int i=0;i<p;i++)
		{
			int x=Prime[i];
			if(x>d)	break;
			if(x<=d&&x*d<n)	ans++;
			if(d!=x&&d%x==0)	break;
			if(x*d>=n)	break;
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}