SLAM代码（lie group基础）

李群基本数学定义

• 群:集合G + 操作符 ∘ ∶ G ∘ G → G,满足:
• 封闭性: $g_1 g_2 \in G, \forall g_1 , g 2 ∈ G$
• 结合律: $g_1 ∘ g_2 ∘ g_3 = g_1 ∘ g_2 ∘ g_3 , \forall g_1 , g_2 , g_3 \forall G$
• 单位元: $\exists e \in G: e ∘ g = g ∘ e = g, \forall g \in G$
• 可逆性:$\exists g^{-1} \in G: g ∘ g ^{−1} = g^{−1} ∘ g = e, \forall g \in G$

李群:群 + 光滑

• 群操作符的映射,是光滑映射
• (整数群$\mathbb{Z}$不是李群)

李群的李代数:向量空间 + 双线性操作符(李括号)

• 数学空间,一个数域上的代数(algebra over a field)
• 操作符4个性质:封闭性、双线性、alternating、雅克比等式(略)
• 李群在单位元素处的切空间

常用李群举例

一般线性群:GL(n)

• 所有$n\times n$的可逆矩阵
• 操作符为矩阵乘法
• 单位元是单位矩阵I n×n

正交群:$O(n)\subset GL(n)$

• $O(n)=\{R\in GL(n)|R^TR=I\}$

特殊正交群:$SO(n)\subset O(n) \subset GL(n)$

• $SO(n) = \{R \in GL(n) |R^TR = I, \det(R) = +1\}$

欧几里得群:$E(n) \subset GL(n+ 1)$

• $E(n)= \left\{\begin{bmatrix}R & t\\ 0& 1\end{bmatrix}|R ∈ O(n) , t ∈ R^n\right\}$

特殊欧几里得群: $SE(n) \subset GL(n+ 1)$

• $SE(n) =\left\{ \begin{bmatrix}R & t\\ 0& 1\end{bmatrix} |R \in SO(n) , t \in R^n \right\}$

group	physical meaning
SO3	Rotation
SE3	poses

lie 代数

构成
1. 向量空间, vectorspace
2. 数域, some field
3. 李括号 lie bracket

李括号满足的性质.

对于SO(3)SO(3)和SE(3)SE(3)，李代数可定义于李群的正切空间上，描述了李群中元素局部性质，分别把它们记作小写的so(3)so(3)和se(3)se(3)。首先，给出通用的李代数的定义。

指数映射

通过指数映射从李代数转为李群,李群通过对数映射转为李代数.

雅克比

雅克比矩阵为转换李代数中的平移成分为SE3中的平移成分

$\mathbf{r}=\mathbf{J}\rho$

SE(3)中的指数映射和对数映射

refer

1. http://www.cnblogs.com/gaoxiang12/p/5137454.html
2. http://blog.youkuaiyun.com/heyijia0327/article/details/50446140
3. https://www.youtube.com/watch?v=khLM8VV8LuM
4. https://www.youtube.com/playlist?list=PLTBdjV_4f-EJn6udZ34tht9EVIW7lbeo4