Problem Three:[SPOJ LCMSUM]

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本文介绍了一个用于解决数学问题的算法——求解∑lcm(i,n)的高效实现方法。通过数学推导得出核心公式，并利用Euler totient函数优化计算过程。该算法适用于竞赛编程和数论问题求解。

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http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/viewProblem.action?id=27840

\sum l c m (i, n) = \sum i * n / g c d (i, n) = n * \sum i / g c d (i, n) = n * \sum d | n \sum g c d (i, d) = 1 N / d i n * \sum d | n d * φ (d) / 2

$\begin{equation*} \sum lcm(i,n)=\sum i*n/gcd(i,n)=\\ n*\sum i/gcd(i,n)=\\ n*\sum_{d|n} \sum_{gcd(i,d)=1}^{N/d}i\\ n*\sum_{d|n} d*\varphi(d)/2 \end{equation*}$

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1e6+100;
typedef long long LL;
LL phi[N],ans[N];

void init(){
    int ed=1000000;
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=ed;i++){
        if(!phi[i]){
            for(int j=i;j<=ed;j+=i){
                if(!phi[j])phi[j]=j;
                phi[j]=phi[j]-phi[j]/i;
            }
        }
    }
    ans[1]=1;
    for(int i=2;i<=ed;i++){
        ans[i]=i*phi[i]/2+1;
    }
    for(int i=2;i*i<=ed;i++){
        ans[i*i]+=i*phi[i]/2;
        for(int j=i+1;j*i<=ed;j++){
            ans[i*j]+=i*phi[i]/2+j*phi[j]/2;
        }
    }
}

int main(){
    init();
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int n;scanf("%d",&n);
        printf("%lld\n",ans[n]*n);
    }
    return 0;
}