XTU OJ 2024 下学期作业 0x0B - 筛法，前缀和

時間困獸

于 2024-11-16 18:44:05 发布

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分类专栏： XTUOJ 刷题记文章标签：算法 c语言

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A. XTUOJ 1339 Interprime

筛法，前缀和

素数筛法用于求解满足一定条件的素数个数问题，基础且常用的有两种：埃氏筛和欧拉筛，模板如下：

/* 埃氏筛 */
bool notPrime[MAX_NUM + 1] = { false, true};
for (int i = 2, cntOfPrimes = 0; i <= MAX_NUM; ++i) {
	if (!notPrime[i]) {
		++cntOfPrimes;
		if ((long long)i * i > MAX_NUM) continue;
		// i 的 2 ~ (i - 1) 倍已经被之前的 i 给筛掉了
		for (int j = i * i; j <= MAX_NUM; j += i) notPrime[j] = true;
	}
}

/* 欧拉筛 */
int prime[MAX_CNT_OF_PRIMES];
bool notPrime[MAX_NUM + 1] = { false, true };
for (int i = 2, cntOfPrimes = 0; i <= MAX_NUM; ++i) {
	if (!notPrime[i]) prime[cntOfPrimes++] = i;
	for (int j = 0; j < cntOfPrimes; ++j) {
		if (i * prime[j] > MAX_NUM) break;
		notPrime[i * prime[j]] = true;
		// i 能整除当前的 prime[j] 说明此循环内后面的 i * prime[j] 总会被当前这个 prime[j] 筛掉，
		// 也许在之前就筛掉了，也许会在之后，所以无需在这里重复筛，
		// 这里退出即可保证每个合数都只被筛一次。
		// 比如：当 i == 6，prime == { 2, 3, 5 } 时，在确认 6 % 2 == 0 后退出，
		// 就会避免筛 6 * 3 == 18，18 会在后面被 9 * 2 == 18 筛掉
		if (i % prime[j] == 0) break;
	} 
}

对于本题，只需要在筛法的基础上求一下所谓的 “内部素数”，最后用前缀和处理一下结果即可

核心代码

void A_1011_solve () {
    for (int i = 2, cntOfPrimes = 0; i <= MAX_NUM; ++i) {
        if (!notPrime[i]) {
            prime[cntOfPrimes] = i;
            if (i > 3) {
                int avg = (prime[cntOfPrimes - 1] + i) / 2;
                if (notPrime[avg]) cntOfInternalPrime[avg] = 1;
            }
            ++order;
        }
        for (int j = 0; j < cntOfPrimes; ++j) {
            if (i * prime[j] > MAX_NUM) break;
            notPrime[i * prime[j]] = true;
            if (i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
    for (int i = 2; i <= MAX_NUM; ++i)
        cntOfInternalPrime[i] += cntOfInternalPrime[i - 1];
}

B. XTUOJ 1450 哈希

筛法

先用筛法打出素数表，再依次枚举素数（由鸽巢原理，小于 $\dfrac{n}{2}$ 的可以跳过），检查碰撞情况，找到最小不会导致冲突多次的素数即为结果
~~多次尝试提交后发现最大只需求至 6000 左右的素数~~

核心代码

void get_prime_table () {
    for (int i = 2, cntOfPrimes = 0; i <= MAX_SIZE; ++i) {
        if (!notPrime[i]) prime[cntOfPrimes++] = i;
        for (int j = 0; j < cntOfPrimes; ++j) {
            if (i * prime[j] > MAX_NUM) break;
            notPrime[i * prime[j]] = true;
            if (i % prime[j] == 0) break;
        } 
    }
}

int B_1011_solve () {
    for (int i = 0; prime[i]; ++i) {
        if (prime[i] < n / 2) continue;
        memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
        for (int j = 0; j < n; ++j) if (++cnt[A[j] % prime[i]] > 2) goto next;
        return prime[i];
        next: ;
    }
}

C. XTUOJ 1279 Dual Prime

筛法，前缀和

打出素数表后按题意求 “双素数” ，最后用前缀和处理一下结果即可

核心代码

void C_1011_solve () {
	for (int i = 2, cntOfPrimes = 0; i <= MAX_NUM; ++i) {
		if (!notPrime[i]) prime[cntOfPrimes++] = i;
		for (int j = 0; j < cntOfPrimes; ++j) {
			if (i * prime[j] > MAX_NUM) break;
			notPrime[i * prime[j]] = true;
			if (i % prime[j] == 0) break;
		} 
	}
    for (int i = 0; prime[i]; ++i) {
        for (int j = i + 1; prime[j]; ++j) {
            if ((long long)prime[i] * prime[j] > MAX_NUM * 2) break;
            cntOfDualPrimes[prime[i] * prime[j]] = 1;
        }
    }
    for (int i = 2; i <= MAX_NUM * 2; ++i)
        cntOfDualPrimes[i] += cntOfDualPrimes[i - 1];
}

D. XTUOJ 1355 Euler’s Totient Function

筛法，数论函数，前缀和

在欧拉筛法中，每一个合数 $n$ 都以 $\dfrac{n}{p_1} * p_1$ 的形式被筛去
- 若 $p_1 \mid \dfrac{n}{p_1}$ ， $\varphi(n) = n \times \prod_{i = 1}^k\dfrac{p_i - 1}{p_i} = p_1 \times \dfrac{n}{p_1} \times \prod_{i = 1}^k\dfrac{p_i - 1}{p_i} = n \times \varphi(\dfrac{n}{p_1})$
- 若 $p_1 \nmid \dfrac{n}{p_1}$ ，此时 $p_1$ 和 $\dfrac{n}{p_1}$ 互质，由欧拉函数是积性函数的性质有: $\varphi(n) = \varphi(p_1) \times \varphi(\dfrac{n}{p_1}) = (p_1 - 1) \times \dfrac{n}{p_1}$
最后用前缀和处理一下结果即可

核心代码

void D_1011_solve () {
	for (int i = 2, cntOfPrimes = 0; i <= MAX_NUM; ++i) {
		if (!notPrime[i]) {
            prime[cntOfPrimes++] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }
		for (int j = 0; j < cntOfPrimes; ++j) {
            int x = i * prime[j];
			if (x > MAX_NUM) break;
			notPrime[x] = true;
			if (i % prime[j] == 0) {
                phi[x] = phi[i] * prime[j];
                break;
            }
            phi[x] = phi[i] * phi[prime[j]];
		} 
	}
    for (int i = 2; i <= MAX_NUM; ++i)
        sumOfPhi[i] = phi[i] + sumOfPhi[i - 1];
}

E. XTUOJ 1377 Factorization

筛法，数论函数，前缀和

素数的质因子就是自己，因此质因子数为 $1$
筛合数 i * prime[j] 时，可以利用前面已经计算出来的 i 的质因子数，如果 i 能整除 prime[j]，说明 i * prime[j] 的质因子数和 i 相等，不能整除就说明 i * prime[j] 比 i 多一个质因子 prime[j]
最后用前缀和处理一下结果即可

核心代码

void E_1011_solve () {
	for (int i = 2, cntOfPrimes = 0; i <= MAX_NUM; ++i) {
		if (!notPrime[i]) {
            cntOfPrimeFactors[i] = 1;
            prime[cntOfPrimes++] = i;
        }
		for (int j = 0; j < cntOfPrimes; ++j) {
            int x = i * prime[j];
			if (x > MAX_NUM) break;
			notPrime[x] = true;
            cntOfPrimeFactors[x] = cntOfPrimeFactors[i] + (i % prime[j] != 0);
			if (i % prime[j] == 0) break;
		}
	}
    for (int i = 2; i <= MAX_NUM; ++i)
        cntOfPrimeFactors[i] += cntOfPrimeFactors[i - 1];
}

F. XTUOJ 1396 函数

筛法，数论函数，前缀和

由整数唯一分解很容易就可以知道这是一个加性函数，结合线性筛的特点很容易就可以求出来，最后用前缀和处理一下结果即可

核心代码

void F_1011_solve () {
	for (int i = 2, cntOfPrimes = 0; i <= MAX_NUM; ++i) {
		if (!notPrime[i]) {
            sumOfExponets[i] = 1;
            prime[cntOfPrimes++] = i;
        }
		for (int j = 0; j < cntOfPrimes; ++j) {
            int x = i * prime[j];
			if (x > MAX_NUM) break;
			notPrime[x] = true;
            sumOfExponets[x] = sumOfExponets[i] + sumOfExponets[prime[j]];
			if (i % prime[j] == 0) break;
		}
	}
    for (int i = 2; i <= MAX_NUM; ++i)
        sumOfExponets[i] += sumOfExponets[i - 1];
}

G. XTUOJ 1402 平方数及其倍数

筛法，前缀和

我们将满足 “非 $1$ 完全平方数或其倍数 ” 这一条件的数称为目标数
易知素数不可能是目标数，对于合数，若为目标数，由整数唯一分解可知其必然是素数的平方的倍数
结合线性筛的特点，每个数 $n$ 都会被 $\dfrac{n}{p_1} * p_1$ 筛去， $p_1$ 是 $n$ 的最小质因子，因此若 $\dfrac{n}{p_1}$ 是目标数或 $p_1 \mid \dfrac{n}{p_1}$ ， $n$ 也必然是目标数，反之若 $\dfrac{n}{p_1}$ 不是目标数， $n$ 也不可能是目标数
最后用前缀和处理一下结果即可

核心代码

void G_1011_solve () {
    memset(cntOfTargetNums, 0, sizeof(cntOfTargetNums));
	for (int i = 2, cntOfPrimes = 0; i <= MAX_NUM; ++i) {
		if (!notPrime[i]) prime[cntOfPrimes++] = i;
		for (int j = 0; j < cntOfPrimes; ++j) {
            int x = i * prime[j];
			if (x > MAX_NUM) break;
			notPrime[x] = true;
            if (cntOfTargetNums[i] || i % prime[j] == 0) cntOfTargetNums[x] = 1;
			if (i % prime[j] == 0) break;
		}
	}
    for (int i = 2; i <= MAX_NUM; ++i)
        cntOfTargetNums[i] += cntOfTargetNums[i - 1];
}

H. XTUOJ 1526 奇因数

筛法，前缀和

在 XTUOJ 1377 Factorization 的基础上判断一下是质因子个数否为奇数即可

核心代码

void G_1011_solve () {
	for (int i = 2, cntOfPrimes = 0; i <= MAX_NUM; ++i) {
		if (!notPrime[i]) {
            cntOfTargetNums[i] = 1;
            prime[cntOfPrimes++] = i;
        }
		for (int j = 0; j < cntOfPrimes; ++j) {
            int x = i * prime[j];
			if (x > MAX_NUM) break;
			notPrime[x] = true;
            cntOfTargetNums[x] = cntOfTargetNums[i] + (i % prime[j] != 0);
			if (i % prime[j] == 0) break;
		}
	}
    for (int i = 2; i <= MAX_NUM; ++i) {
        cntOfTargetNums[i] = cntOfTargetNums[i] & 1;
        cntOfTargetNums[i] += cntOfTargetNums[i - 1];
    }
}