XTU OJ 2024 下学期作业 0x08 - 素数判定，分解因式

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Reference

OI Wiki 数论部分
《初等数论》 - 潘承洞、潘承彪（重点看第一章）

A. XTUOJ 1121 欧拉函数

分解质因数，模拟

利用分解质因数得到 $n$ 的所有质因子再将其带入欧拉函数的计算公式即可

分解质因数的朴素算法如下

for (int i = 2; i * i <= N; ++i) {
	if (N % i == 0) {         // 如果 i 能整除 N，说明 i 是 N 的一个质因子
		res[size++] = i;
		while (N % i) N /= i;
	}
}
if (N != 1) res[size++] = N;  // 最后若 N 不等于 1，说明留下了一个素数

下面我们来证明上面算法的正确性：
我们用 $N$ 来表示还进行质因数分解的初始值，N 表示代码执行过程中的 $N$
➀ 首先考察 N 的变化。当 for 循环进行到某个 i（开始时有 i 整除 N）结束时，必然已经执行完了 while (N % i) N/= i;，因此此时 i 不能整除 N，但 N 整除 $N$ 仍成立。由此我们有：当循环进行到 i 开始时，N 整除 $N$ 且不被任何小于 i 的整数（不考虑 $1$ ）整除。
② 其次证明 res 内的元素都为 $N$ 的因子。for 循环内 i 加入 res 的条件是 N % i == 0;，因此 for 循环内纳入的 i 必然都是 $N$ 的因子，对于 for 循环结束后得到的 N，如果它不为 $1$ ，由 ➀ 可知它必然是 $N$ 的因子。
③ 然后证明 res 内的元素都是素数。假设 res 内存在一个合数 $K$ ，必然有 $\le \sqrt{K}$ 满足 $k$ 整除 $K$ ，这样的 $K$ 不可能做为某个 i 被加入 res：当循环进行到 $K$ 时， $k$ 整除 $\sqrt{K}$ 可以推出 $k$ 也整除 N，但由 ➀ 可知 N 不被任何小于 $K$ 的数整除，与假设矛盾；这样的 $K$ 不可能作为最后的 N 加入 res：循环退出的条件是 i * i > N，因此已经遍历完所有不超过 $\sqrt{K}$ 的 i，即最后的 N 不可能还有因子 $k$ ，与假设矛盾。
④ 最后证明 $N$ 所有的质因子必然出现在 res 中。假设 $p$ 是 $N$ 的一个质因子但不在 res 中，显然 $p$ 不可能是 for 循环中的一个 i，那么它必然整除最后的 N，所以此时最后的 N 必大于 $1$ ，由 ③ 可知最后的 N 若大于 $1$ 必为素数，因此此时最后的 N 等于此 $p$ ，必会加入 res，与假设矛盾。

核心代码

void A_1008_solve () {
    ans = n;
    if (n == 1) ans = 0;
    for (int i = 2; i * i <= n; ++i) {
        if (n % i == 0) {
            ans = ans / i * (i - 1);    // 先除后乘避免溢出
            while (n % i == 0) n /= i;
        }
    }
    if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
}

B. XTUOJ 1295 Flawless Prime

素性检测，模拟

模拟去掉最高位的过程，判断结果是否为素数即可

简单素性检测

bool is_prime (int n) {
    if (n < 2) return false;
    for (int i = 2; i * i <= n; ++i)
        if (n % i == 0) return false;
    return true;
}

上面的素性检测基于这样一个事实：合数 $N$ 的因子总是成对存在，设 $x$ 为 $N$ 的一个因子，则 $\dfrac{x}{N}$ 也是 $N$ 的因子，且 $x$ 和 $\dfrac{x}{N}$ 中必有一个不大于 $\sqrt{N}$ （若两个都大于 $\sqrt{N}$ ，它们的积会大于 $N$ ，显然不可能）。因此对于数 $N$ ，素性检测只需检查它是否存在小于 $\sqrt{N}$ 的因子即可。

核心代码

void B_1008_solve () {
    ans = false;
    int cnt = 0;
    for (int nCopy = n; nCopy > 0; nCopy /= 10) {
        if (nCopy % 10 == 0) return ;     // 有前导 0 直接 return
        digit[cnt++] = tmp % 10;
    }
    while (cnt--) {
        if (!is_prime(n)) return ;
        n -= digit[cnt] * pow_of_ten[cnt];
    }
    ans = true;
}

C. XTUOJ 1332 素数

素性检测，枚举

按题意枚举所有区间再判断是否为素数即可

核心代码

void C_1008_solve () {
    ans = 0;
    int len = strlen(n);
    for (int left = 0; left < len; ++left) {
        for (int right = left; right < len; ++right) {
            int numFromInterval = 0;
            for (int i = left; i <= right; ++i) {
                if (i > left) numFromInterval *= 10;
                numFromInterval = numFromInterval + n[k] - '0';
            }
            if (is_prime(numFromInterval)) ++ans;
        }
    }
}

D. XTUOJ 1524 不定方程的正整数解

分解质因数，数论函数

$\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{a}$ 可以写成 $a + y)(a - x) = a^2$ ，因此原问题可以转化为求 $a^2$ 有多少对不相等的因子
任意整数 $N$ 的因子数个数可以由函数 $\tau(n) = (e_1 + 1)(e_2 + 1)\dots(e_k + 1)$ ，其中 $e_1, e_2, \dots ,e_k$ 来自于整数的唯一分解： $p_1^{e_1}p_2^{e_2} \dots p_k^{e_k}$ 中的指数。这个结论在整数唯一分解的基础上可以很容易由乘法计数原理得到

核心代码

void D_1008_solve () {
    ans = 1;
    for (int i = 2; i * i <= a; ++i) {
        if (a % i == 0) {
            int e = 0;
            for (; a % i == 0; ++e) a /= i;
            ans *= 2 * e + 1;
        }
    }
    if (a != 1) ans *= 3;   // a != 1 表示最后还余下一个质因子，指数为 1
    ans = (ans - 1) / 2;    // 去除 a * a = a ^ 2 的情况后除 2
}

E. XTUOJ 1172 因子和

数论函数

利用因子和函数 $\sigma(a) = \prod_{i = 1}^{k}\dfrac{p_i^{e_i + 1} - 1}{p_i - 1}$ ，其中 $p_1, p_2, \dots, p_k$ 和 $e_1, e_2, \dots ,e_k$ 来自于整数的唯一分解： $p_1^{e_1}p_2^{e_2} \dots p_k^{e_k}$ 中的质因数及其指数
函数中的 $p^{e_i + 1}$ 可以轻易地由唯一分解中得到，省去求幂

核心代码

void E_1008_solve () {
    ans = 1;
    for (int i = 2; i * i <= n; ++i) {
        int tmp = 1;
        while (n % i == 0) {
	        n /= i;
	        tmp *= i;
        }
        ans = ans * (tmp * i - 1) / (i - 1);
    }
    if (n > 1) ans *= (n + 1);
}

F. XTUOJ 1452 完全平方数 I

分解质因数

$\dots + a + n - 1 = \dfrac{(a + a + n - 1) n}{2} = n(a + \dfrac{n - 1}{2})$
易知上式是 $n$ 的整数倍，若它为完全平方数，由 $n$ 的唯一分解 $\prod_{i = 1}^{k}p_i^{e_i}$ ，要使 $n$ 的倍数为完全平方数，只需要把唯一分解中的所有奇指数配成偶数即可
若最后得到的结果小于 $\dfrac{n-1}{2}$ ，需要在此基础上再乘上一个完全平方数

核心代码

void F_1008_solve () {
    ans = n == 1 ? 0 : 1;
    int tmp = (n - 1) / 2;
    for (int i = 2, e; i * i <= n; ++i) {
        if (n % i == 0) {
            for (e = 0; n % i == 0; ++e) n /= i;
            if (e & 1) ans *= i;
        }
    }
    if (n > 1) ans *= n;
    for (int i = 2; ans < tmp; ++i) {  // 结果小于 (n + 1) / 2，需要继续乘上一个完全平方数
        if (ans * i * i >= tmp) { 
            ans = ans * i * i;
            break; 
        }
    }
    ans -= tmp;
}

G. XTUOJ 1560 完全平方数 II

分解质因数

设 $ax^2 + bx + c = k^2$ ，由于 $\in Z^+$ ，解方程得 $\dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4c + 4k^2}}{2}$ ，易知当 $b^2 - 4c = 0$ 时，方程有无穷多个解，此外，设 $b^2 -4c + 4k^2 = t^2$ ，因式分解得到 $t - 2k)(t + 2k) = b^2 - 4c$
由上一步得到的最终表达式，可以求出 $b^2 - 4c$ 的所有因子对，如果某对因子和能整除 $2$ ，可以认为该因子和是 $2 t$ ，由此可以求得 $\left \vert t \right \vert$ ，再验证一下 $\left \vert t \right \vert$ 是否大于 $0$ 以及能否被 $2$ 整除，若都可以就可以确定一个解

核心代码

int G_1008_solve () {
    memset(ans, 0, sizeof(ans));
    int n = b * b - 4 * c, cntOfAns = -1;
    if (n == 0) return cntOfAns;
    int nAbs = n > 0 ? n : -n;
    cntOfAns = 0;
    for (int i = 1, tmp; i * i <= nAbs; ++i) {
        if (nAbs % i == 0) {
            tmp = n > 0 ? nAbs / i + i : nAbs / i - i; // 求得 |2t|
            if (tmp & 1 == 0) {                        // 验证求得的 |2t| 是否真地能被 2 整除
                tmp /= 2;
                tmp -= b;
            }
            else continue;
            if (tmp > 0 && tmp & 1 == 0) ans[cntOfAns++] = tmp / 2;
        }
    }
    return cntOfAns;
}

H. XTUOJ 1576 分段

分解质因数

对 $A$ 的所有元素求和得到 $S_A$ ，最终的结果必然是 $S_A$ 的因子
我们可以从小到大依次枚举 $S_A$ 的所有因子，第一个符合条件的就是答案

核心代码

void H_1008_solve () {
	// S[i] 表示 A[0] 到 A[i] 之和
    ans = S[n - 1];   // 设置 ans 初始值为 S[A - 1]（A 中所有元素的和）
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i * i <= S[n - 1]; ++i) if (S[n - 1] % i == 0) A[cnt++] = i;
    if (cnt == 0) {
        ans = 0;
        return ;
    }
    for (int i = cnt - 1; i > 0; --i) A[cnt++] = S[n - 1] / A[i];
    // 枚举和的 S[A - 1] 的所有因子
    for (int i = 0; i < cnt; ++i) {
        int tmp = 1;
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            if (S[j] % A[i] == 0) {
                if (S[j] / A[i] == tmp) ++tmp;
                else goto next;
            }
        }
        if (A[i] < ans) ans = A[i];
        next: ;
    }
}