针对波动计算复杂性的吸收边界条件(PML 用于一般波动方程)(Matlab代码实现)

本文探讨了在波动计算中使用完美匹配层(PML)作为吸收边界条件的方法,以模拟波在无穷远处的行为。作者强调了在处理标准波动方程而非麦克斯韦方程时的适用性,并给出了使用一阶和二阶方程的有限差分法示例,以及相关的Matlab代码。

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📋📋📋本文目录如下:🎁🎁🎁

目录

💥1 概述

📚2 运行结果

🎉3 参考文献

🌈4 Matlab代码、文章下载


💥1 概述


针对波动计算复杂性的吸收边界条件
摘要
在之前的一些工作的基础上,我们研究了如何向计算域添加吸收边界条件,以便我们可以假装我们的波从中间某处传播到无穷远。我们讨论了几种不同的方法来增强我们的模拟,以实现这一目标,其中一种特定的方法是完美匹配层(PML)。
作为一名电气工程师,以下观点可能会让你感到震惊:所有有趣的微分方程都来自量子力学。哦,是的,麦克斯韦方程无穷有用,但拜托,就算是一桶激光也永远不会像需要一个波动方程是复值那样有趣。认真地读一下[1]的前九十页,特别是第四章和第五节,我相信你会同意的。
现在,当面对一个偏微分方程时,当然首先要做的事情是把它输入计算机,看看事情是如何反弹的。我说的反弹,是真的反弹。当量子波函数——实际上是任何波状物——在一个边界条件被默认设置为零的计算域中移动时,它们会从侧面反射出来(这是不连续性和二阶导数的有趣结果)。由于量子力学的基本方程中没有任何源或汇,概率和能量在这种情况下往往是守恒的:这是一件好事。
然而,即使在存在电势的情况下,如果你的初始波函数足够扩展,它最终会演变成由计算域本身的模式(通常是一个正方形)主导的一堆振荡模式。也就是说,如果你试图探索特定标量电势的模式——而不是你的计算机的模式——你需要找到一种方法,在波函数到达计算域边缘之前衰减它。对于一些电势,比如谐振子,这通常是不必要的,但对于其他电势来说是必要的。虽然不一定显而易见,但为了做到这一点,如果我们盯着薛定谔方程看。

这个程序是为标准波动方程设计的完美匹配层,它使用吸收边界条件。这些条件不是用来解决麦克斯韦方程,而是用于标准波动方程,比如用于电势的波动方程。如何添加良好的吸收边界条件,使得你可以假装在计算机内部模拟真实的电磁现象?当你不是在解决麦克斯韦方程,而是在解决电势的波动方程时,你该如何做?别担心,下面就是解决这个问题的方法:

详细文章见第4部分。

1. 使用辅助微分方程的一阶方程的完全显式有限差分法。
2. 使用二阶方程的完全显式有限差分法。
3. 使用辅助微分方程的一阶方程的半隐式有限差分法。

📚2 运行结果

部分代码:

clear;   close all;   showpotential = true;

%% Initialize computational domain:
n = 256;   c = 1;   tmax = 2^12;

xmin = -50; xmax = 50;   x = linspace(xmin, xmax, n);   dx = x(2) - x(1);
[x, y] = meshgrid(x, x);

phi = exp(-(x.^2+y.^2)/2)/(2*pi);

%% Initialize perfectly matched layer & simulation variables:
[sigmax, sigmay] = setupPML(x, dx);

dt = 0.25 * dx / c;
s_xplusy = 1/c^2*(sigmax + sigmay);
s_xtimesy = 1/c^2*(sigmax.*sigmay);

psi = zeros(size(x));
u_now = zeros(size(x));

vx = zeros(size(x));
vy = zeros(size(x));

s = c^2 * dt^2;

%% Run the simulation:
if showpotential
    fig = mesh(x, y, u_now);
    axis([xmin xmax xmin xmax -0.2 0.2]);
    xlabel('x');   ylabel('y');
    zlabel('Wave Amplituide');
    title('Generic Wave with PML at Boundary');
end

🎉3 参考文献

文章中一些内容引自网络,会注明出处或引用为参考文献,难免有未尽之处,如有不妥,请随时联系删除。

🌈4 Matlab代码、文章下载

### 二维声波动方程及其数值解 对于二维空间中的声波传播现象,可以利用声波动方程来描述。该方程通常表示为: \[ \nabla^2 p(\mathbf{x},t)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2p(\mathbf{x}, t)}{\partial t^2}=f(\mathbf{x},t) \] 其中 \(p\) 是压力场分布函数;\(c\) 表示介质中的声速;而 \(\nabla^2\) 则代表拉普拉斯算子用于计算二阶偏导数[^1]。 为了有效处理开放边界的反射问题,在有限差分时间域(FDTD)方法或其他时域算法中常常引入完美匹配层(PML),这是一种吸收边界条件技术。通过在物理区域周围附加一层特殊设计的人工材料——其电磁特性沿厚度方向逐渐变化从而实现入射波几乎无反射地进入并被耗散掉的效果[^2]。 #### MATLAB 实现示例 下面给出一段简单的MATLAB代码片段用来求解带PML的二维声波动方程: ```matlab % 参数设置 dx = dy = dz = 0.01; % 空间步长 dt = dx / (sqrt(3)*c); % 时间步长, CFL condition nx=ny=nz=256; npml=8;% PML层数目 for i=1:nx for j=1:ny sigma_x(i,j)=sigma_max*(i-npml)/(nx/2-npml); sigma_y(i,j)=sigma_max*(j-npml)/(ny/2-npml); alpha_x(i,j)=(1+complex(0,-1)*omega*dt*sigma_x(i,j))^(-1); alpha_y(i,j)=(1+complex(0,-1)*omega*dt*sigma_y(i,j))^(-1); end end % 主循环... ``` 这段程序初始化了一些必要的参数,并定义了适用于笛卡尔坐标系下的各向异性PML系数矩阵`alpha_x`, `alpha_y`. 进一步完整的FDTD更新过程未在此展示完全[^3]. #### Python 实现示例 Python同样能够高效完成此类任务,这里提供了一个基于NumPy库的基础框架: ```python import numpy as np def initialize_pml_parameters(nx, ny, npml): """Initialize parameters required by the PML.""" # Define maximum absorption coefficient and other constants here... sigmax = np.zeros((nx, ny)) sigmay = np.zeros_like(sigmax) alphas_x = np.ones_like(sigmax,dtype=np.complex_) alphas_y = np.ones_like(sigmay,dtype=np.complex_) for i in range(npml,nx-npml): for j in range(ny): if i< nx//2 : sigmax[i][j]=sigma_max*((i-npml)/(nx/2.-npml))**(order) elif i>= nx//2 : sigmax[i][j]=sigma_max*((nx-i-(npml))/(nx/2.-npml))**(order) alphas_x[i][j]=(1.+0.j-1.j * omega * dt *sigmax[i][j])**(-1.) ... return alphas_x,alphas_y if __name__=='__main__': ... ``` 此部分实现了与上述Matlab版本相似的功能,即创建了两个数组分别存储横向(x轴)纵向(y轴)上的衰减因子\[alpa\_x,\alpha\_y\],这些将在后续的时间迭代过程中应用到网格节点上以模拟理想的吸波效果[^4]. #### C++ 实现思路概述 C++由于更接近硬件层面的操作权限因此可能带来性能优势特别是在大规模数据集运算场景下。然而具体编码细节较为复杂涉及到更多底层内存管理等方面的知识所以此处仅简单提及几个要点而不展开具体的源码分享: - 使用标准模板库(STL)容器类如vector代替动态分配的一维或多维指针; - 尽量减少不必要的对象复制操作转而采用引用传递方式提高效率; - 对于重复性的数学表达式考虑封装成独立的小型辅助函数以便重用和维护方便; - 如果项目允许的话还可以探索OpenMP或者CUDA等多线程加速方案进一步提升执行速度[^5].
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