Dobot magician机械臂抓取实战---手眼标定（3）

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分类专栏： magician 文章标签：算法机器学习人工智能线性代数机器人 linux

于 2023-06-30 14:20:37 首次发布

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四、奇异值分解求vb=0

1、奇异值分解

奇异值分解（SVD）：将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，对于一个m x n的矩阵A，SVD将其分解为： $A = U\sum V^{T}$ (其中，U是m x m的正交矩阵， $\sum$ 是 m x n 的对角矩阵（除对角线上的元素为，其余元素都为0），V是 n x n的正交矩阵)。

$\sum$ 为对角元素的奇异值，U列向量为左奇异向量，V为右奇异向量。

· 特征值：给定一个方阵A，引入一个标量 $\lambda$ 称其为矩阵A的特征值。

一道例题看懂奇异值分解：求矩阵 $A = \begin{bmatrix} 1 &0 &1 \\ 0 &1 &1 \\ 0 & 0 &0 \end{bmatrix}$ 的奇异值分解。

$B = A \cdot A^{T} = \begin{bmatrix} 1 & 0 &1 \\ 0 & 1 &1 \\ 1&1 &2 \end{bmatrix}$

$\begin{vmatrix} \lambda 1 -B \end{vmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda -1 & 0 &-1 \\ 0& \lambda -1 &-1 \\ -1 &-1 & \lambda -2 \end{bmatrix}$ (其中 $\lambda$ 为特征值，1为单位矩阵)。

利用行列式计算： $\lambda \bigl(\begin{smallmatrix} \lambda -1 \end{smallmatrix}\bigr)\bigl(\begin{smallmatrix} \lambda -3 \end{smallmatrix}\bigr) = 0$ ,求其特征值为：0，3，1

奇异值：大于0的特征值开根号。则奇异值为 $\sqrt{3}$ ，1

奇异值矩阵 $\sum = \begin{bmatrix} -\sqrt{3} &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}$ $\sum ^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

当 $\lambda = 3$ 时； $\begin{bmatrix} \lambda 1 - B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 &0 &-1 \\ 0 & 2 &-1 \\ -1 &-1 &-1 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 &0 &-\frac{1}{2} \\ 0 & 1&-\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ (这里化简运用到了行列式的行变换)

当 $\lambda = 1$ 时； $\begin{bmatrix} \lambda 1 - B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 &0 &-1 \\ 0 & 0 &-1 \\ -1 &-1 &-1 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 &1&0 \\ 0 & 0&1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

当 $\lambda = 0$ 时； $\begin{bmatrix} \lambda 1 - B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 &0 &-1 \\ 0 & -1 &-1 \\ -1 &-1 &-2 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 &0&1\\ 0 & 1&1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

则上面的特征向量(令 $X_{1}, X_{2},X_{3}$ 乘以第一行的每一列使其=0，再乘以第二列可以推出下列式子)：

当 $\lambda = 3$ 时； $\xi_{1} = \begin{bmatrix} 1\\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ ;

当 $\lambda = 1$ 时； $\xi_{1} = \begin{bmatrix} 1\\- 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ ;

当 $\lambda = 0$ 时； $\xi_{1} = \begin{bmatrix} 1\\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ ;

将上面得到的特征向量进行单位化（除以向量长度）

$v_{1} = \frac{1}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}}}\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{2}{\sqrt{6}} \end{bmatrix}$

$v_{2} == \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\\ 0\end{bmatrix}$

$v_{3} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}\\ -\frac{1}{\sqrt{3}} \end{bmatrix}$

则 $v= \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & - \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{3}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_{1} :v_{2} \end{bmatrix}$ (奇异值有两个，所以取前两项)

则根据奇异值分解的公式得 $U_{1} = A v_{1}\sum^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 &1 \\ 0 &1 &1 \\ 0& 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{6}} &\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}}& - \frac{1}{\sqrt{2}}& \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{2}{\sqrt{3}} &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} &\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} &-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

因为 $U_{1}^{T} \cdot U_{2} = 0$ ，所以 $U_{2} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}$

$U = \begin{bmatrix} U_{1} : U_{1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} &\frac{1}{\sqrt{2}} &0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}} &0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

所有A的奇异值分解为 $A = U \begin{bmatrix} \sum &o \\ o & o \end{bmatrix}v = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} &0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} &-\frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sqrt{2} & 0 &0 \\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{2}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{2}} &-\frac{1}{\sqrt{2}} &0 \\\frac{1}{\sqrt{3}} &\frac{1}{\sqrt{3}} &-\frac{1}{\sqrt{3}} \end{bmatrix}$