数字图像处理 六 频率域

频率：信号进行周期性变化的速率

图像的频率：图像的亮度/颜色在水平/垂直方向上周期性变化的速率

1.傅里叶变换

图像从空间域到频率域的转换：

确定某种频率：选择信号的基，且通过基的组合可以表示其他任何信号；

确定频率成分：对任意的输入信号，以及给定的基信号，计算该基信号所占的成分。

成分指的是输入信号在特定频率上的贡献量

（1）形式：

连续 

离散：

 （2）五个重要问题

①基信号是什么样的？

由欧拉公式可得

②F(u)为什么可以表示f(x)占基信号的成分？

F(u)是原信号与基信号的内积，内积可以用于度量两个向量的相关性

③用这一组基信号能否表示所有的其他信号？

1'首先判断这组基信号是否正交

2'再判断是否线性无关且个数等于M（空间维度）

④为什么所选基信号个数等于M？

若>M，会冗余；若<M，无法表示空间内所有信号

⑤为什么是复函数？

引入复数变换的目的是为了刻画信号的相位

（3）逆变换

①为什么是这种形式？

傅里叶变换是矩阵变换；傅里叶基是正交基。

②归一化系数1/M

以离散为例：

（4）频率图像的移中

将频域的原点移到图像中心：对于输入信号f(x,y)乘上(-1)^(x+y)

过程： 

2.快速傅里叶变换（FTT）

复杂度：mlogm

原始变换为m^2，所以FTT:原始变换=logm/m,如果m=1024,比值为1：1000

3.图像滤波

空间滤波是对像素的局部加权平均

频率域图像滤波：将图像通过傅里叶变换，转化到频域之后，施加滤波函数，之后实施傅里叶逆变换，将图像从频域转换回空间域

基本过程：

空间域和频率域的关系：

空间域为图像本身像素空间，用x,y,r,g,b等描述；频率域表示图像在不同频率上的分量；空间域F(u,v)通过傅里叶变换转化到频率域f(x,y)，频率域通过傅里叶逆变换转化回来。

空间域滤波和频率域滤波的关系：

空间域滤波：直接对图像像素进行操作；频率域滤波：对频率进行操作。许多操作在两域中等价，比如空域的均值滤波等价于频域的低通滤波器，空域的边缘检测算子等价于频域的高通滤波器。

低通：去噪更平滑

高通：去噪更注重边缘，细节

为什么会出现振铃现象：

在频域中的不连续会导致出现无限长的振荡，滤波时就会产生一系列振纹，出现振铃现象。