连续型随机变量切比雪夫不等式的证明

最新推荐文章于 2025-05-09 20:49:38 发布

睿智的菜汪

最新推荐文章于 2025-05-09 20:49:38 发布

阅读量669

点赞数 3

文章标签：概率论

版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_56375291/article/details/142696612

版权

切比雪夫（Chebyshev）不等式是概率论中一个非常重要的公式，其公式为：

对 $\forall \varepsilon>0$ ，都有 $P(|X-EX|\geq \varepsilon )\leq \frac{Var(X)}{\varepsilon^2}$

在证明这个不等式之前，需要先回顾一下一些常用的概率论公式

$F_X(x)= \int _{-\infty}^xf_X(x)dx=P\{X\leq x\}(1)$

$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx(2)$

$D(X)=E((X-EX)^2)=\int_{-\infty}^{\infty}(x-EX)^2f(x)dx(3)$

方法一：

易知，当 $x> 0$ 时：

$\int _{0}^{\infty}xf(x)dx>\int _{\varepsilon} ^\infty xf(x)dx(4)$

原因在于x和 $f(x)$ （密度函数）都是大于0的数，少一部分之后一定会比原来的值更小，因此，不等式（4）成立

另外在 $\varepsilon>0$ 时，恒有

$\int _{\varepsilon} ^\infty xf(x)dx>\int _{\varepsilon} ^\infty \varepsilon f(x)dx(5)$

原因在于 $x>\varepsilon$ ，并且 $f(x)>0$ ，因此根据积分的性质知道

$\int _\varepsilon ^\infty (x-\varepsilon)f(x)dx>0$

因此不等式（5）成立

由不等式（1）和（2）知：

$\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx>\varepsilon\int _{\varepsilon}^{\infty}f(x)dx$

由（1）和（2）知，上式可转化为

$\varepsilon P\{X\geq \varepsilon\}\leq E(X)$ ，在 $X>0$ 时恒成立

将X替换为 $(X-EX)^2$ ，因为 $(X-EX)^2$ 同样大于0，因此原不等式仍应成立，同样，将 $\varepsilon$ 替换为 $\varepsilon^2$

因此，有 $\varepsilon^2 P\{|X-EX|^2\geq \varepsilon^2\}\leq E((X-EX)^2)$

由（3）知， $D(X)=E((X-EX)^2)$

因此有 $\varepsilon^2P\{|X-EX|<\varepsilon\}\leq D(X)$

即有 $P\{|X-EX|<\varepsilon\}\leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2}$

方法二：

$P\{|X-EX|<\varepsilon\}=\int _\varepsilon ^\infty f(x)dx\leq\int _\varepsilon ^\infty \frac{(X-EX)^2}{\varepsilon^2}f(x)dx$

$\leq \int _{-\infty} ^\infty \frac{(X-EX)^2}{\varepsilon^2}f(x)dx=\frac{Var(X)}{\varepsilon^2}$

评论

被折叠的条评论为什么被折叠?

到【灌水乐园】发言

查看更多评论

添加红包

成就一亿技术人!

hope_wisdom

发出的红包

实付元

使用余额支付

点击重新获取

扫码支付

钱包余额 0

抵扣说明：

1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。