中值定理证明

罗尔定理

如果函数满足在闭区间[a,b]上连续；在开区间（a,b）内可导；在区间端点处的函数值相等，即，那么在（a,b）内至少有一点 ，使得

拉格朗日中值定理

如果函数满足在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导，那么在（a,b）内至少有一点，使等式成立。

证明：

令

有

因此由罗尔定理知道：存在一点，使得

即成立，

即

得证。

柯西中值定理

如果函数及满足:

⑴在闭区间[a,b]上连续；

⑵在开区间（a,b）内可导；

(3)和不同时为0；

(4)

则存在，使得

设

由于

由罗尔定理可知：存在一点，使得

因此：

因此，有成立，得证。