交错级数-1的n次方1/x求和

睿智的菜汪

已于 2024-06-02 21:38:32 修改

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文章标签：算法

于 2024-06-02 21:31:56 首次发布

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根据莱布尼兹判别法，一个级数的项绝对值单调递减，且绝对值趋于0的时候，这个级数是收敛的，对于 $\sum_{1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}$ 这个级数来说，这个趋于的值可以通过一些方法计算出来。

首先证明这样一个事实：

$\sum_{1}^{x}\frac{1}{n}-lnx$ （x为一个正整数）

上面的式子收敛到一个常数 $\gamma$ 。

已知 $x>ln(x+1)$ (可用导数证明)

则设数列 $S_n=\sum_{1}^{x}\frac{1}{n}-lnx>\sum_{1}^{x}{ln(1+\frac{1}{n})}-lnx=ln(x+1)-ln(x)$

在n趋于无穷时， $S_n$ 的值为0，所以可以知道 $S_n$ 从上方趋于0，有下界

$S_{n+1}-S_n=\frac{1}{n+1}-ln(n+1)+ln(n)=\frac{1}{n+1}+ln(1-\frac{1}{n+1})<\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+1}=0$

所以显然这个数列是单调递减的

由于这个数列 $S_n$ 单调递减有下界，根据单调有界定理可知， $S_n$ 收敛，这个收敛到的值其实是欧拉常数，这里直接记作 $\gamma$ 。

即 $\sum _{1}^{x}\frac{1}{n}-lnx=\gamma+\varepsilon _x$

继续计算级数 $\sum_{1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}$ 的和，级数可以展开成

$\sum_{1}^{2x}(-1)^n\frac{1}{n}=-\sum_{1}^{2x}\frac{1}{n}+2\sum_{1}^{x}\frac{1}{2n}$

前面已经提到 $\sum_{1}^{x}\frac{1}{n}=lnx+\gamma+\varepsilon _x$

这样一个式子，对于项的个数为偶数个： $\sum_{1}^{2x}(-1)^n\frac{1}{n}=-\sum_{1}^{2x}{\frac{1}{n}}+\sum_{1}^{x}{\frac{1}{n}}=-ln2x-\gamma-\varepsilon _{2x}+lnx+\gamma+\varepsilon_x=-ln2$

在x趋于无穷时， $\varepsilon _x$ 是趋于0的，因此，我们得到了上面式子 $\sum_{1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}$ 的和是-ln2，又知道 $\lim_{x \to 0} (-1)^n\frac{1}{n}=0$ ，因此易证奇数形式的和也是-ln2

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