Kruskal‘s algorithm 证明理解

证明参考wiki：

algorithm Kruskal(G) is
    F:= ∅
    for each v in G.V do
        MAKE-SET(v)
    for each {u, v} in G.E ordered by weight({u, v}), increasing do
        if FIND-SET(u) ≠ FIND-SET(v) then
            F := F ∪ { {u, v} }
            UNION(FIND-SET(u), FIND-SET(v))
    return F

第一步，算法给出的树是没有环的，这一点在find-set中可以看出来。

第二步，归纳：

        归纳的总体思路是，n=0时某结论成立，如果假设n=k的时候某结论成立可以推出n=k+1时某结论也成立，那么n在任何时候某结论都是ok的

        1. 某结论：F是当前算法选出来的边的集合， 那么这时一定存在一个最小生成树包含F

F is the set of edges chosen at any stage of the algorithm, then there is some minimum spanning tree that contains F and none of the edges rejected by the algorithm.

        2. 算法开始之前，作为初始条件，F是空，某结论OK

        3. 算法运行的任意时刻P，某结论成立，即：当下的集合是F，且F 属于一个最小生成树T

        那么，算法这时给出的一个边是 e ，需要对 e 是否属于 T 进行讨论：

                  如果 e 同样属于 T，即下一个时刻 某结论 也就OK了

                  如果 e 不属于T，那么 e + T 一定有环

                        进而 e + T 的环中一定有不属于 e + F 的边，记为 f

                                （因为算法保证e+F不会成环，而e+T有环，所以一定多个边）

                        那么 比较 f 和 e， 因为f在T中，所以 f 一定要 <= e，

                                （但是，算法本身保证了e <= f） 

                        所以只能是 f == e  的情况了，也就是 T - f +e也是一个最小生成树

                                （所以某结论 又ok了）

                 所以不论e 是否属于T，某结论都是ok的，证毕