随机过程复习（二）泊松过程

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分类专栏：随机过程文章标签：算法概率论

于 2023-11-30 19:55:59 首次发布

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1. 泊松过程的定义

1.1 定义

计数过程 $\{N(t),t\geq 0\}$ 称为具有速率 $\lambda$ 的泊松过程，如果它满足如下条件：

N(0)=0;
过程是独立增量过程，即任取 $0<t_1<t_2<...<t_n$ , $N(t_1), N(t_2)-N(t_1), ..., N(t_n)-N(t_{n-1})$ 相互独立；
在长度为t的任意时间区间中的事件个数服从均值为 $\lambda t$ 的泊松分布。即对于所有的 $s,t\geq 0$ ，有

$P\{N(t+s)-N(s)=n\}=\mathrm{e}^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^n}{n!}\quad(n=0,1,\cdots)$

计数过程 $\{N(t),t\geq 0\}$ 称为具有速率 $\lambda$ 的泊松过程，如果：

是一个计数过程，且N(0)=0;
是独立增量过程；
具有增量平稳性，即对于 $\forall s,t\geqslant 0,n\geqslant 0$ ，有 $P\{N(s+t)-N(s)=n\}=P\{N(t)=n)\}$ ；
具有增量普通性，即对 $\forall t>0$ 和充分小的 $\Delta t>0$ ，有

$\begin{aligned}&P\{N(t+\Delta t)-N(t)=1\}=\lambda\Delta t+o(\Delta t)\\&P\{N(t+\Delta t)-N(t)\geqslant2\}=o(\Delta t)\end{aligned}$

其中， $\lambda >0$ , $o(\Delta t)$ 为 $\Delta t$ 的高阶无穷小。

1.2 泊松过程的几个数字特征

设 $\{N(t),t\geq 0\}$ 是泊松过程，对任意的 $s,t\geqslant 0,s<t$ ，有

$E(N(t)-N(s))=D(N(t)-N(s))=\lambda(t-s)$

均值函数

$m_N(t)=E(N(t))=E(N(t)-N(0))=\lambda t$

方差函数

$D_N(t)=D(N(t))=D(N(t)-N(0))=\lambda t$

2. 与泊松过程相关的若干分布

2.1 事件发生时刻 $S_n$ 的分布

$S_n$ 表示第n个事件发生的时刻，则

$\begin{aligned}S_0&=0\\S_n&=\inf\{t:t>S_{n-1},N(t)=n\}\quad(n\geqslant1)\end{aligned}$

$S_n$ 的概率密度函数为

$f_{S_n}(t)=\frac{(\lambda t)^{n-1}}{(n-1)!}\lambda\mathrm{e}^{-\lambda t}I_{(t\geqslant0)}$

2.2 相邻事件发生时间间隔 $X_n$ 的分布

$X_n=S_n-S_{n-1}(n=1,2,...)$ ，它表示第(n-1)个事件与第n个事件发生的时间间隔，称为相邻事件发生的时间间隔。

可以证明随机变量 $X_n=S_n-S_{n-1}(n=1,2,...)$ 是独立同分布的均值为 $\frac{1}{\lambda }$ 的指数分布。

$F_{X_n}(t)=P\{X_n\leqslant t\}=1-\mathrm{e}^{-\lambda t}$

2.3 到达时间的条件分布

设 $\{N(t),t\geq 0\}$ 是泊松过程，已知在[0,t]内事件发生n次，则这n次到达时间 $S_1<S_2<S_3<...<S_n$ 的联合概率密度为

$\left.f(t_1,t_2,\cdots,t_n)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{n!}{t^n}&\quad\mathrm{(0<t_1<t_2<\cdots<t_n\leqslant t)}\\0&\quad\mathrm{(else)}\end{array}\right.\right.$

3. 泊松过程的推广

3.1 非时齐泊松过程

如果计数过程 $\{N(t),t\geq 0\}$ 满足以下条件：

N(0)=0;
{N(t)}是独立增量过程；
对任何 $t\geq 0$ ，当正数 $h\rightarrow 0$ 时，有

$\left.\left\{\begin{array}{l}P(N(t+h)-N(t)=1)=\lambda(t)h+o(h)\\P(N(t+h)-N(t)\geqslant2)=o(h)\end{array}\right.\right.$

则称{N(t)}为非时齐泊松过程，称 $\lambda (t)$ 为{N(t)}的速率函数。

3.2 复合泊松过程

设 $\{Y_i,i\geq 1\}$ 是一独立同分布的随机变量序列， $\{N(t),t\geq 0\}$ 是速率为 $\lambda$ 的泊松过程，并且 $\{Y_i,i\geq 1\}$ 与 $\{N(t),t\geq 0\}$ 。对 $t\geq 0$ ，记

$X(t)=\sum_{i=1}^{N(t)}Y_i$

称过程 $\{X(t),t\geq 0\}$ 为复合泊松过程。

X(t)的期望 $E(X(t))=\lambda tE(Y_1)$ ；

X(t)的方差 $D(X(t))=\lambda tE(Y_1^2)$ 。

3.3 条件泊松过程

存在一个正随机变量L，假设其具有概率密度函数 $f(x)I_{x\geqslant0}$ 。现设 $\{N(t),t\geq 0\}$ 是一个计数过程，且在L= $\lambda$ 条件下，这个计数过程是速率为 $\lambda$ 的泊松过程，即对 $\forall s,t\geqslant 0,\lambda >0,n=0,1,2,...$ ，有