几种简单卷积计算方法实例-Faltung

1.连续函数的卷积

1.1 将图1中的两个函数的表达式写出

$$x(t)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<t<3T\\ 0,& 其他\end{array}$$
$$h(t)=\{\begin{array}{ll}\frac{t}{2T},& 0<t<2T\\ 0,& 其他\end{array}$$

1.2 分类讨论

$情况1$

$显然y(t)=0。$

$情况2$

$y(t)={\int }_0^{t}x(\tau )h(t-\tau )d\tau =\frac{1}{2T}{\int }_0^t(t-\tau )d\tau =\frac{t^2}{4T}$

$注意看两个函数重叠部分，此时t<0时卷积结果为0，所以积分下限为0，积分上限为不断移动的函数h(t-\tau )$

$情况3$

$y(t)={\int }_{t-2T}^{t}x(\tau )h(t-\tau )d\tau =\frac{1}{2T}{\int }_{t-2T}^t(t-\tau )d\tau =T$

$情况4$

$y(t)={\int }_{t-2T}^{3T}x(\tau )h(t-\tau )d\tau =\frac{1}{2T}{\int }_{t-2T}^{3T}(t-\tau )d\tau =\frac{1}{4T}(-5T^2+6tT-t^2)$

$情况5$

$y(t)=0。$

$此外连续函数卷积还可以借助傅里叶变换、拉普拉斯变换、卷积的各种性质求解。$

2.离散函数的卷积

2.1 表格法（Papierstreifenmethode）

$当数列f_n,h_n和y_n的长度分别为L_f,L_h和L_y时，那么L_y=L_f+L_h-1。$

2.2 借助冲激信号

$$Dirac-Implus{\delta }_k(n)=\{\begin{array}{ll}1,& n=0\\ 0,& 其他\end{array}$$

2.3 借助Z变换

$单边Z变换，F(z)=$${\sum }_{n=0}^{\infty }$ $f_n{z}^{-n}$

Z{δ(n)}=1,延迟定理Z{fn−k}=z−k[F(z)+Z\{\delta(n)\}=1,延迟定理Z\{f_{n-k}\}=z^{-k}[F(z)+Z{δ(n)}=1,延迟定理Z{fn−k​}=z−k[F(z)+${\sum }_{m=1}^k{f}_{-m}{z}^m$]

$总结：设数列f_n和h_n分别通过连续信号f(t)和h(t)理想采样获得y(t)=f(t)\ast h(t)\ne y_n=f_n\ast h_n，因为在连续卷积中，采样点之间的函数值也会影响结果。$

2.3 循环卷积（Zyklische Faltung）

$通常所说的卷积都为线性卷积（LineareFaltung）两个函数的循环卷积是由他们的周期延伸所来定义的。$$周期延伸意思是把原本的函数平移某个周期T的整数倍后再全部加起来，所产生的新函数。循环卷积要借$
$助离散傅里叶变换(DFT)$

$x(n)\circ —\bullet X_{DFT}(k)$
$\Delta \Omega =\frac{2\pi }{N}{W}_N=e^{-j\frac{2\pi }{N}}$

$X_{DFT}(k)={\sum }_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\Delta \Omega k\cdot n}={\sum }_{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{kn}只在k=0,1,...,N-1定义$